Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции y=f(x) заданы значения y_i=f(x_i) для равноотстоящих значений независимой переменной x_i=x₀+i*h (i=0,n) , где h - шаг интерполяции.

Требуется подобрать полином P_n(x) степени не выше n, принимающий в точках x_i значения P_n(x_i)=y_i (i=0,n)

Ньютон решил поставленную задачу:

P_n(x)=y₀+qy++y₀,

где q=.

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Нью-тона.

 

Каков физический смысл имеет переменная q в первой интерполяционной формулой Ньютона.

 

q=,

где k - число шагов, необходимых для достижения точки x , исходя из точки x₀.

Рассмотрим частные случаи n=1 или n=2:

n=1 P₁(x)=y₀+qy₀ – линейное интерполирование

n=2 P₂(x)=y₀+qy₀+²y₀–параболическое (квадратичное) интерполирование

Пример: необходимо построить интерполяционный полином Ньютона для функции y=на отрезке c h=1

X
Y	0.25	0.2	0.167	0.143	0.125

Горизонтальная таблица разностей.

x	y	y	2y	3y	4y
	0.25	-0.05	0.017	-0.008	0.005
	0.2	-0.033	0.009	-0.003
	0.167	-0.024	0.006
	0.143	-0.018
	0.125

Т.о., при наличии 5 точек максимальный порядок существующей конечной разности =4, максимальная степень полинома =4.

P₄(x)=y₀+qy₀++y₀+

Как пользоваться формулой?

Допустим, необходимо определить значение в точке x=4.4

Узловые точки x₀=4, h=1,тогда q=

Точное значение =0.22727.