Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Пусть на пространстве элементарных событий некоторого вероятностного эксперимента определены события А и В, причем P(B) ¹ 0.

Условной вероятностью события A при условии B (обозначается P(A|B)) называется …………………………………………………….................. ………………………………………………………………………………………

По определению ………………………………….. (1)

Вычисление условных вероятностей – это, по существу, переход в новое, урезанное заданным условием B пространство элементарных исходов. Вероятности элементарных событий P(w_i) (w_iÎB) пропорциональны исходным. Для соблюдения условия нормировки в новом пространстве элементарных исходов они делятся на P(B).

Аналогично определяется условная вероятность P(B | A):

.…………………………… если ………… (2)

Пример 7. Е: Подбрасывание двух монет. Рассматриваются события: - выпадение герба на первой монете; - выпадение герба на второй монете; – выпадение двух гербов. ………………………………………………

Вычислим условные вероятности:

………………… ………………… …………………

………………… ………………… …………………

………………… ………………… …………………

 

Формулы (1) и (2) часто записывают в виде

……………..………………………………….

и называют теоремой умножения вероятностейдля двух событий.

 

Теорема умножения вероятностей для трех событийимеет вид:

……………………………………………………..

Для произвольного числа n событий A₁, A₂,… A_n теорема умножения вероятностей имеет вид

……..………………………………………………………………………………...

То есть вероятность совместного появления нескольких событий равна ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ......................................................................................................................................

Пример 8. Студент пришел на экзамен, зная из тридцати вопросов программы только 25. В билете три вопроса. Найти вероятности следующих событий: В – студент сумеет ответить на все 3 вопроса, содержащиеся в билете; С - студент сумеет ответить на 2 вопроса их трех; D – студент сумеет ответить хотя бы на один из вопросов, содержащихся в билете.