ТЕМА. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.
Табл. 1.1.
Перечень задач для решения при усвоении материала.
Во всех задачах обязательным является построение математических моделей, указание экономического смысла переменных, приведение расчетов и подробное описание результата решения задачи.
1 ТЕМА. «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ».
Задача 1.1.
Предприятие планирует выпускать nвидов продукции Пi (i= 1, 2, … , n). При её изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, иР3. прямые затраты ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2,иb3. Расход j-горесурса (j= 1, 2, 3) на единицу продукции i-го вида составляет aij ед. Цена единицы продукции i-го вида равна Сi денежных единиц.
Требуется:
1.Составить математическую модель прямой и двойственной задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;
2.Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограничении ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;
3.Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной задачи;
4.Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется;
5.С помощью двойственных оценокyj обосновать эффективность оптимального плана, сопоставить оценку израсходованных ресурсов и максимальный доход. Zmaxот реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно;
6.Оценить целесообразность приобретения Dbk единиц ресурса K по ценеCk.
Необходимые исходные числовые данные приведены в табл. 1.1.
Задача 1.2.
Составить диету включающие белки, жиры и углеводы в количестве не менее bi (i = 1, 2, 3).Для составления смеси можно использовать три вида продуктов Bj (j = 1, 2, 3), содержащую белки жиры и углеводы в количестве aij. Цена продуктов Cj.Необходимо определить такой набор продуктов, который обеспечил бы необходимое содержание питательных веществ, и полная стоимость его при этом была бы наименьшей.
Требуется:
1.Составить математическую модель прямой и двойственной задач. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;
2.Симплекс – методом решить двойственную задачу;
Необходимые исходные числовые данные приведена в табл. 1.2.
| Параметр | Номер варианта | |||||||||
| а11 | ||||||||||
| а12 | ||||||||||
| а13 | ||||||||||
| а21 | ||||||||||
| а22 | ||||||||||
| а23 | ||||||||||
| а31 | 5 | |||||||||
| а32 | ||||||||||
| а33 | ||||||||||
| b1 | ||||||||||
| b2 | ||||||||||
| b3 | ||||||||||
| С1 | ||||||||||
| С2 | ||||||||||
| С3 | ||||||||||
| K | ||||||||||
| Dbk | ||||||||||
| Сk |
Таблица 1.2.
| Параметр | Номер варианта | |||||||||
| b1 | ||||||||||
| b2 | ||||||||||
| b3 | ||||||||||
| а11 | ||||||||||
| а12 | ||||||||||
| а13 | ||||||||||
| а21 | ||||||||||
| а22 | ||||||||||
| а23 | ||||||||||
| а31 | ||||||||||
| а32 | ||||||||||
| а33 | ||||||||||
| С1 | ||||||||||
| С2 | ||||||||||
| С3 |
2 ТЕМА. «ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА»
Задача 2.1
В пунктах Аi (i=1, 2, 3)производится однородная продукция в количестве аi единиц. Себестоимость единицы продукции в i-м пункте равна Ci. Готовая продукция поставляется в пункты Вj (j=1, 2, 3, 4), потребности которых составляют bj ед. стоимость перевозки единицы продукции из пункта Ai в пункт Bj задана матрицей Cij.
Требуется:
1.Написать математическую модель прямой и двойственной задач с указанием экономического смысла всех переменных;
2.Составить план перевозки продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям для условия что продукция произведенная в пункте Ai, где себестоимость её производства наименьшая, распределяется полностью;
3.Вычислить суммарные минимальные затраты Zmin;
4.Узнать в какие пункты развозится продукция от поставщиков;
5.Установить пункты, в которых останется нераспределенная продукция, и указать её объем.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 2.1.
Задача 2.2.
Трудовые бригады Б1, Б2, Б3 численностью, а1, а2, и а3 человек, сформированы для уборки картофеля.
Для уборки картофеля на четырех полях П1, П2, П3 и П4 необходимо выделить b1, b2, b3, и b4 работников. Производительность труда работника зависит от урожайности картофеля, а так же от численности бригады и характеризуется для указанных бригад и полей элементами матрицы Pij (в центнерах на человека за рабочий день).
Требуется:
1.Распределить работников каждой трудовой бригады по полям так, чтобы за рабочий день было убрано максимально возможное количество картофеля;
2.Определить сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении работников.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 2.2.
Таблица 2.1.
| Параметр | Номер варианта | |||||||||
| а1 | ||||||||||
| а2 | ||||||||||
| а3 | ||||||||||
| С1 | ||||||||||
| С2 | ||||||||||
| С3 | ||||||||||
| b1 | 296 | |||||||||
| b2 | ||||||||||
| b3 | ||||||||||
| b4 | ||||||||||
| С11 | ||||||||||
| С12 | ||||||||||
| С13 | ||||||||||
| С14 | ||||||||||
| С21 | ||||||||||
| С22 | ||||||||||
| С23 | ||||||||||
| С24 | ||||||||||
| С31 | ||||||||||
| С32 | ||||||||||
| С33 | ||||||||||
| С34 |
Таблица 2.2.
| Параметр | Номер варианта | |||||||||
| А1 | ||||||||||
| А2 | ||||||||||
| А3 | ||||||||||
| B1 | ||||||||||
| B2 | ||||||||||
| B3 | ||||||||||
| B4 | 41 | |||||||||
| Р11 | ||||||||||
| Р12 | ||||||||||
| Р13 | ||||||||||
| Р14 | ||||||||||
| Р21 | ||||||||||
| Р22 | ||||||||||
| Р23 | ||||||||||
| Р24 | ||||||||||
| Р31 | ||||||||||
| Р32 | ||||||||||
| Р33 | ||||||||||
| Р34 |
3 ТЕМА. «ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»
Задача 3.1.
Решить задачу методом ветвей и границ. Данные необходимые для решения, приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
| Вариант | Математическая модель задачи | ||
| Целевая функция | Ограничения | Условие неотрица-тельности | |
| 
| x1, x2 ≥ 0 | |
| 
| x1, x2 ≥ 0 | |
| 
| x1, x2 ≥ 0 | |
| 
| x1, x2 ≥ 0 | |
| 
| x1, x2 ≥ 0 | |
|
| 
| x1, x2 ≥ 0 | |
| 
| x1, x2 ≥ 0 | |
| 
| x1, x2 ≥ 0 | |
|
| 
| x1, x2 ≥ 0 | |
| 
| x1, x2 ≥ 0 |
Задача 4.1.
Выделены денежные средства S0=100 д.ед. для вложения в инвестиционные проекты для реконструкции и модернизации производства на четырех предприятиях.
По каждому предприятию известен возможный прирост fi(х)(i=1, 2, 3, 4) выпуска продукции в зависимости от выделенной суммы.
Требуется:
1. Распределить средства S0 между предприятиями так, чтобы суммарный прирост продукции на всех четырех предприятиях достиг максимальной величины;
2. Используя решение основной задачи, найти оптимальное распределение между тремя предприятиями.
Данные необходимо для решения, приведены в таблице 4.1.