Взаимодействие токов. Магнитная индукция

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

ВВЕДЕНИЕ

ББК В334я73

УДК 537.6 (075.8)

Ó Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича», 2009

В 1820 г. профессор университета в Копенгагене Ганс Христиан Эрстед читал лекции по электричеству, гальванизму и магнетизму. В то время электричеством называли электростатику, гальванизмом назывались явления, вызываемые постоянным током, получаемым от батарей, магнетизм был связан с известными свойствами железных руд, со стрелкой компаса, с магнитным полем Земли.

В поисках связи между гальванизмом и магнетизмом Эрстед проделал опыт с пропусканием тока через проволоку, подвешенную над стрелкой компаса. При включении тока стрелка отклонялась в сторону от меридионального направления. Если изменялось направление тока или стрелка помещалась над током, она отклонялась в другую сторону от меридиана.

Таким образом, опыт Эрстеда можно считать прямым доказательством существования магнитного поля в пространстве, где есть постоянный ток (упорядоченное движение носителей заряда).

Открытие Эрстеда явилось мощным стимулом для дальнейших исследований и открытий. Прошло немного времени и Ампер, Фарадей и другие провели полное и точное исследование магнитного действия электрических токов. Открытие Фарадеем явления электромагнитной индукции произошло через 12 лет после опыта Эрстеда. На основе этих экспериментальных открытий была построена классическая теория электромагнетизма. Максвелл придал ей окончательный вид и математическую форму, а Герц в 1888 г. блестяще подтвердил, экспериментально доказав существование электромагнитных волн [1].

Электрические токи взаимодействуют между собой. Как показывает опыт, два прямолинейных параллельных проводника, по которым текут токи, притягиваются, если токи в них имеют одинаковое направление, и отталкиваются, если токи противоположны по направлению (рис. 1). При этом сила их взаимодействия на единицу длины проводника прямо пропорциональна силе тока в каждом из проводников и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Закон взаимодействия токов был установлен Андре Мари Ампером в 1820 г. экспериментально.

В металлах суммарный заряд положительно заряженной ионной решетки и отрицательно заряженных свободных электронов равен нулю. Заряды распределены в проводнике равномерно. Таким образом, электрическое поле вокруг проводника отсутствует. Именно поэтому проводники при отсутствии тока не взаимодействуют друг с другом.

Однако при наличии тока (упорядоченного движения свободных носителей заряда) между проводниками возникает взаимодействие, которое принято называть магнитным.

В современной физике магнитное взаимодействие токов трактуется как релятивистский эффект, возникающий в системе отсчета, относительно которой имеет место упорядоченное движение зарядов [2]. В данном пособии будем использовать понятие магнитного поля как свойство пространства, окружающего электрический ток. Существование магнитного поля тока проявляется при взаимодействии с другими проводниками с током (закон Ампера), или при взаимодействии с движущейся заряженной частицей (сила Лоренца, подразд. 2.1), или при отклонении магнитной стрелки, помещенной вблизи проводника с током (опыт Эрстеда).

Для характеристики магнитного поля тока введем понятие вектора магнитной индукции. Для этого, аналогично тому как при определении характеристик электростатического поля использовалось понятие пробного точечного заряда [3], при введении вектора магнитной индукции будем использовать пробный контур с током. Пусть это будет плоский замкнутый контур произвольной формы и малых размеров. Настолько малых, что в точках места его расположения магнитное поле можно считать одинаковым. Ориентацию контура в пространстве будем характеризовать вектором нормали к контуру, связанным с направлением тока в нем правилом правого винта (буравчика): при вращении ручки буравчика в направлении тока (рис. 2) поступательное движение кончика буравчика определяет направление единичного вектора нормали к плоскости контура.

Характеристикой пробного контура является его магнитный момент , где s – площадь пробного контура.

Если поместить пробный контур с током в выбранную точку рядом с прямым током, то токи будут взаимодействовать. При этом на пробный контур с током будет действовать вращательный момент пары сил М (рис. 3). Величина этого момента, как показывает опыт, зависит от свойств поля в данной точке (контур мал по размеру) и от свойств контура (его магнитного момента).

На рис. 4, представляющем собой сечение рис. 3 горизонтальной плоскостью, показаны несколько положений пробного контура с током в магнитном поле прямого тока I. Точка в кружке обозначает направление тока к наблюдателю. Крест обозначает направление тока за рисунок. Положение 1 соответствует устойчивому равновесию контура (М = 0), когда силы растягивают его. Положение 2 соответствует неустойчивому равновесию (М = 0). В положении 3 на пробный контур с током действует максимальный вращающий момент сил. В зависимости от ориентации контура величина вращающего момента может принимать любые значения от нуля до максимального . Как показывает опыт, в любой точке , т. е. максимальное значение механического момента пары сил зависит от величины магнитного момента пробного контура и не может служить характеристикой магнитного поля в исследуемой точке. Отношение максимального механического момента пары сил к магнитному моменту пробного контура не зависит от последнего и может служить характеристикой магнитного поля. Эта характеристика называется магнитной индукцией (индукцией магнитного поля)

Введем ее как векторную величину. За направление вектора магнитной индукции будем принимать направление магнитного момента пробного контура с током, помещенного в исследуемую точку поля, в положении устойчивого равновесия (положение 1 на рис. 4). Это направление совпадает с направлением северного конца магнитной стрелки, помещенной в эту точку. Из сказанного следует, что характеризует силовое действие магнитного поля на ток и, следовательно, является аналогом напряженности поля в электростатике. Поле вектора можно представить при помощи линий магнитной индукции. В каждой точке линии вектор направлен по касательной к ней. Так как вектор магнитной индукции в любой точке поля имеет определенное направление, то и направление линии магнитной индукции – единственное в каждой точке поля. Следовательно, линии магнитной индукции, так же как и силовые линии электрического поля, не пересекаются. На рис. 5 представлено несколько линий индукции магнитного поля прямого тока, изображенных в плоскости, перпендикулярной току. Они имеют вид замкнутых окружностей с центрами на оси тока.

Следует отметить, что линии индукции магнитного поля всегда замкнуты. Это отличительная черта вихревого поля, в котором поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность равен нулю (теорема Гаусса в магнетизме).

1.2. Закон Био–Савара–Лапласа.
Принцип суперпозиции в магнетизме

Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей токов различной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна силе тока, создающего магнитное поле. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле тока I любой конфигурации может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока.

Длина каждого участка тока настолько мала, что его можно считать прямым отрезком, расстояние от которого до точки наблюдения много больше . Удобно ввести понятие элемента тока где направление вектора совпадает с направлением тока I, а его модуль равен (рис. 6).

Для индукции магнитного поля , создаваемого элементом тока в точке, находящейся на расстоянии r от него (рис. 6), Лаплас вывел формулу, справедливую для вакуума:

. (1.1)

Формула закона Био–Савара–Лапласа (1.1) написана в системе СИ, в которой постоянная называется магнитной постоянной.

Уже отмечалось, что в магнетизме, как и в электричестве, имеет место принцип суперпозиции полей, т. е. индукция магнитного поля, создаваемого системой токов, в данной точке пространства равна векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых в этой точке каждым из токов в отдельности:

(1.2)

На рис. 7 приведен пример построения вектора магнитной индукции в поле двух параллельных и противоположных по направлению токов и :

1.3. Применение закона Био–Савара–Лапласа.
Магнитное поле прямого тока

Рассмотрим отрезок прямого тока. Элемент тока создает магнитное поле, индукция которого в точке А (рис. 8) по закону Био–Савара–Лапласа находится по формуле:

, (1.3)

где – угол между направлением тока и вектором , характеризующим положение точки А относительно

На рис. 9 представлен фрагмент рис. 8. Опустив перпендикуляр из точки С на сторону ОА, получим два прямоугольных треугольника. Из треугольника ODC следует, что СD =, а из треугольника CDA следует, что CD=.

Учитывая, что и бесконечно малые величины, получим

. (1.4)

После подстановки (1.4) в (1.3) получим:

Из рис. 8 следует, что , где b – расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки А. Следовательно,

По принципу суперпозиции . В точке А все от различных элементов отрезка прямого тока имеют одинаковое направление. Величина магнитной индукции в точке А равна алгебраической сумме от всех элементов прямого тока:

Таким образом, для индукции магнитного поля отрезка прямого тока конечной длины (рис. 10) получаем формулу

. (1.5)

В случае бесконечно длинного прямого проводника с током , . Следовательно, Отсюда следует, что индукция магнитного поля бесконечно длинного прямого проводника с током находится по формуле

. (1.6)

1.4. Применение закона Био–Савара–Лапласа.
Магнитное поле кругового тока

Рассмотрим проводник в форме окружности радиуса R, по которому протекает ток I (рис. 11). Разобьем круговой ток на элементы тока , каждый из которых создает в центре кругового тока (точка О) магнитное поле . По закону Био–Савара–Лапласа (1.1), с учетом, что , магнитная индукция, создаваемая элементом тока в точке О, определяется формулой

По принципу суперпозиции . В точке О все от разных элементов кругового тока имеют одинаковое направление. Следовательно,

Таким образом, для индукции магнитного поля в центре кругового тока получаем

. (1.7)

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым током в других точках на оси z (рис. 12).

Любая пара равных по величине элементов тока (

), расположенная симметрично относительно оси z, создает в точках на оси магнитное поле:

(

). Вектор

в соответствии с законом Био–Савара–Лапласа направлен перпендикулярно плоскости, содержащей вектора

. Вектор

направлен перпендикулярно плоскости, содержащей вектора

. Вектора

образуют ромб, диагональ которого представляет вектор

, направленный вдоль оси Оz.

Как следует из рис. 12,

Учитывая, что , по закону Био–Савара–Лапласа

Так как , , получаем

По принципу суперпозиции результирующий вектор также направлен вдоль оси z, поэтому

Окончательное выражение для индукции в точках на оси кругового тока имеет вид

1.5. Магнитное поле,
создаваемое движущейся заряженной частицей

Как было отмечено в подразд. 1.2, элемент тока создает магнитное поле. Но такой элемент тока представляет собой совокупность упорядоченно движущихся заряженных частиц. Логично предположить, что в основе появления магнитного поля лежит движение отдельно взятой заряженной частицы, а упорядоченное движение множества таких частиц (носителей тока) приводит к пропорциональному увеличению значения магнитной индукции. Такое предположение подтверждается тем, что пучки движущихся заряженных частиц, например электронов в электронно-лучевой трубке, создают магнитное поле [4].

Вычислим значение индукции магнитного поля , создаваемого отдельной движущейся заряженной частицей, исходя из закона Био–Савара–Лапласа:

Для простоты предположим, что все носители тока в элементе тока имеют одинаковый заряд и одинаковую скорость упорядоченного движения . Пусть концентрация заряженных частиц, т. е. их число в единице объема, равна n, а площадь поперечного сечения элемента тока равна S. Тогда, в предположении равномерного распределения тока по сечению проводника, сила тока . Плотность тока [5]. Выражение для элемента тока можно преобразовать следующим образом:

где учтено, что векторы и имеют одинаковое направление. Так как – объем элемента тока, то – число носителей тока в этом элементе. Тогда Умножим обе части равенства векторно на : – и подставим в (1.1). В результате получим

Последнее равенство перепишем в виде

где – индукция магнитного поля, создаваемого совокупностью движущихся заряженных частиц ( – число частиц). Отсюда индукция магнитного поля в точке А от одной заряженной частицы, находящейся на расстоянии r от точки А (рис. 13), будет равна

. (1.8)

Модуль магнитной индукции

. (1.9)

Из (1.8) и (1.9) следует: неподвижная заряженная частица не создает магнитного поля (); индукция магнитного поля обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряженной частицы до рассматриваемой точки; индукция магнитного поля равна нулю на прямой, совпадающей с направлением скорости частицы ; максимальное значение магнитной индукции имеет место в направлениях, ортогональных вектору ее скорости .

Из выражения (1.8) следует, что вектор ортогонален плоскости, в которой находятся вектора и (рис. 13). Для частицы с положительным зарядом q направление вектора удобно определять по правилу правого винта: при ввинчивании буравчика в направлении скорости конец ручки буравчика вращается в направлении линий магнитной индукции. При этом линии магнитной индукции представляют собой окружности, центры которых находятся на прямой ОС (рис. 13). Плоскости, в которых лежат линии магнитной индукции, перпендикулярны ОС. Одна из линий магнитной индукции показана на рис. 13. Если , то линии индукции имеют направление, противоположное указанному.

При применении формулы (1.8) предполагается, что всякое изменение положения частицы в пространстве, а также величины и направления ее скорости , мгновенно скажется на величине и направлении индукции . В действительности это не так. Если частица изменила свое положение или скорость, то только через время (τ – время запаздывания, – скорость света) сигнал об этом дойдет до точки наблюдения. По этой причине (1.9) можно применять, если .

1.6. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции
(закон полного тока)

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме: циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на . Иначе говоря,

где – элементарное перемещение вдоль замкнутого контура l.

Докажем теорему для случая, когда ток I течет по прямому бесконечно длинному проводнику, а замкнутый контур l расположен в плоскости, перпендикулярной току (рис. 14).

Циркуляция вектора магнитной индукции может быть записана в виде

где – индукция магнитного поля прямого тока; – проекция вектора элементарного перемещения на направление вектора .

Из рис. 15 видно, что с хорошей степенью точности. Таким образом,

(1.10)

Если изменить направление тока на рис. 14 на противоположное, то изменится направление вектора на противоположное в каждой точке пространства. Противоположной по знаку станет циркуляция вектора для выбранного направления обхода контура. При этом в равенстве (1.10) ток следует считать отрицательным и подставлять его значение в формулу (1.10) со знаком минус. Таким образом, ток следует считать положительным, если направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого винта. В противном случае ток надо считать отрицательным.

Если контур l не охватывает ток (рис. 16), то

В случае контура произвольной формы (рис. 17) элементарное перемещение разложим на две составляющие, перпендикулярную и параллельную вектору магнитной индукции:

Так как доказательство теоремы для случая контура произвольной формы сводится к рассмотренному выше случаю.

Можно показать, что теорема о циркуляции (или закон полного тока) справедлива в общем случае для системы токов произвольной формы и произвольного замкнутого контура:

, (1.11)

где – токи, охватываемые контуром, причем берется с плюсом, если направление и направление обхода контура связаны правилом правого винта, и с минусом в противном случае.

Если контур находится в проводящей среде, в которой существует упорядоченное движение зарядов, теорему (1.11) удобно представить в виде

где S – любая поверхность, ограниченная контуром l; – проекция плотности тока на нормаль к элементу поверхности .