Медицинское училище №15

Концепция главных напряжений позволяет установить минимальный набор параметров, которые полностью характеризуют напряженное состояние в любой точке. Невозможно сопоставлять различные напряженные состояния, оперируя шестью компонентами тензора напряжений, но это гораздо проще сделать, сопоставляя три величины главных напряжений. Кроме того, величины шести компонент тензора напряжений зависят от выбора ориентации координатных осей, а значения главных напряжений нет.

Приведенные примеры - это только иллюстрация общего положения о том, что все компоненты тензора напряжений зависят от ориентации осей в пространстве, на которые рассчитываются их проекции. Этот вывод представляет собой следствие зависимости величин проекций любого вектора от ориентации осей в пространстве.

Теория операций с тензорными величинами предлагает общие правила и конкретные уравнения, по которым рассчитываются компоненты тензора в трехмерном пространстве. Они сводятся к уравнениям (8) и (9) для плоского двумерного случая нагружения. Как и для двумерного напряженного состояния, можно доказать, что и в общем трехмерном случае для любого тензора в теле всегда существуют три взаимно ортогональные (то есть перпендикулярные друг другу касательные напряжения отсутствуют. Примером этого для двумерного напряженного состояния служит рассмотренный выше рис. 4. Как видно, нормальные напряжения ϭ_ij максимальны в таких направлениях, в которых касательные напряжения отсутствуют, ϭ_ij = 0 (i≠j). Такие экстремальные нормальные напряжения называют главными напряжениями

Существование главных напряжений для любого тензора напряжений представляет собой частный случай более общего утверждения - главные значения существуют для любого тензора.

1.4. Инварианты тензора напряжений

Концепция главных напряжений позволяет представлять напряженное состояние материала с помощью трёх независимых величин. При этом можно утверждать, что любое напряженное состояние эквивалентно, если для них одинаковы три главных напряжения.

Таким образом, три главных напряжения полностью отражают напряженное состояние в произвольной точке безотносительно того, каковы в ней нормальные и касательные напряжения. Другими словами, главные напряжения инвариантны относительно выбора осей ориентации. Для того, чтобы найти главные напряжения для любого произвольного напряженного состояния, для которого известны нормальные и касательные напряжения при некоторой произвольной ориентации осей необходимо решить следующее уравнение:

ϭ³ = J₁ϭ² + J₂ϭ – J₃ =0 (10)

Корни этого уравнения представляют собой главные напряжения, обозначаемые как ϭ₁ ϭ₂ ϭ₃. Очевидно, что корни уравнения выражаются через его коэффициенты J₁ J₂ J₃ . Эти коэффициенты включают компоненты тензора напряжений, определяемые для любых ортогональных координат, и выражаются следующим образом:

J₁ = ϭ₁₁+ ϭ₁₂+ ϭ₁₃ (10а)

J₂= ϭ₁₁ϭ₁₂ + ϭ₁₁ϭ₃₃ + ϭ₂₂ϭ₃₃ – (ϭ₁₂² + ϭ₁₃² + ϭ₂₃²) (11а)

J₃ = ϭ₁₁ϭ₂₂ϭ₃₃ + 2ϭ₁₂ϭ₁₃ϭ₂₃ – (ϭ₁₁ϭ₂₃² + ϭ₂₂ϭ₁₃² + ϭ₃₃ ϭ₁₂²) (12а)

Как и корни уравнения (10), то есть главные напряжения ϭ₁ ϭ₂ ϭ₃, коэффициенты J₁ J₂ J₃ не зависят от выбора ориентации координатных осей в произвольной точке. Это приводит к заключению, что J₁ J₂ J₃ являются инвариантами тензора напряжений. В соответствии с их структурой (степенью с которой компоненты тензора входят в выражения для инвариантов) J₁ называют первым (линейным), J₂ вторым (квадратичным) J₃ третьим (кубическим) инвариантами. Соответствующие формулы легко получаются из выражений (10а – 12а), если считать, что все касательные напряжения равны 0:

J₁ = ϭ₁+ ϭ₂+ ϭ₃ (10b)

J₂= ϭ₁ϭ₂ + ϭ₁ϭ₃ + ϭ₂ϭ₃ (11b)

J₃ = ϭ₁₁ϭ₂₂ϭ₃₃ (12b)

Очевидно, что любая комбинация инвариантовJ₁ J₂ J₃также инвариантна по отношению к выбору ориентации координатных осей в пространстве, то есть тоже представляет собой инвариант. На основании этого вывода можно построить разнообразные элегантные или весьма сложные комбинации инвариантов тензора напряжений, но всегда следует иметь в виду, что существуют три и только три независимые величины такого типа.

Инварианты представляют состояние вещества под действием напряжений, возникших вследствие внешних или внутренних сил. Это означает, что ни одно какое-либо напряжение, ни их произвольная комбинация не характеризуют состояние вещества, но только лишь инварианты тензора напряжения определяют различные физические явления и в частности пороговые явления.

Фундаментальный принцип гласит, что любые физические явления не зависят от выбора координатной системы, которая может быть вполне произвольной. Именно поэтому инварианты, которые определяются независимо от ориентации координатных oceй в пространстве, ответственны зa различные физические явления, происходящие вследствие действия механических сил.

Во многих практических приложеннях возникает двумерное или так называемое плоское напряженное состояние, при котором третье главное напряжение отсутствует.Тогда для плосконапряженного состояния можно записать следующие равенства:

, (13)

Очень характерные примеры такой ситуации это нагружение тонкостенных оболочек, таких как баллоны, мембраны и покрытия различного рода, в которых наружная поверхность свободна от действия нагрузок. Термин «тонкие» в этом контексте означает, что размер изделия в одном направлении в одном много меньше, чем в двух других.

1.5. Основные виды деформирования в плосконапряженном состоянии

В практике наиболее часто встречаются три основных вида нагружения в плосконапряженном состоянии: всестороннее сжатие, сдвиг и одноосное растяжение (рис.2).

s₀

Рис.5. Основные виды деформирования:

а - всестороннее сжатие; б - сдвиг; в - одноосное растяжение

Всестороннее сжатие. При всестороннем сжатии главные напряжения равны по величине и обратны по знаку гидростатическому давлению . При этом касательные напряжения не возникают. В данном случае тензор напряжения записывается в виде

(14)

Тензор называется дельтой Кронекера, или единичным тензором:

, (15

Сдвиг. Сдвиговые напряжения действуют на площадке параллельно по выбранным осям координат. В этой случае тензор напряжения имеет вид

(16)

Одноосное растяжение. При одноосном растяжении тензор напряжения имеет вид

(17)

В отличие от всестороннего равномерного сжатия здесь главные напряжения не равны между собой: одно равно , а два других - нулю. При одноосном растяжении в направлениях, располагаемых под углом 45° к направлению растяжения, возникают максимальные касательные напряжениям , стремящиеся произвести сдвиг под этим углом.

Одноосное растяжение может быть представлено в иной форме, если воспользоваться правилом сложения тензоров:

(18)

называется средним нормальным напряжением. Если предположить, что равно по величине и обратно по знаку гидростатическому давлению , то одноосное растяжение можно представить как совокупность равномерного расширения под действием и трехосного напряженного состояния за счет второго слагаемого в формуле (18). Эта запись важна в физическом отношении, поскольку показывает, почему при одноосном растяжении происходит изменение размеров образца не только в одном, но и во всех направлениях.

Департамента здравоохранения города Москвы»