Основные понятия реологии

Механика сплошных сред как основа реологии

Введение

Лекция 1

Для правильного описания основных параметров технологических процессов необходимы сведения о деформационных характеристиках полимеров в широком диапазоне температур и скоростей. Эти зависимости получают экспериментально в процессе реологических исследований эластомеров, находящихся в вязкотекучем состоянии. Знание реологических свойств позволяет получить важную информацию о структурных особенностях эластомеров, понять сущность процесса переработки каучуков в сырых резиновых смесях. Все это обусловливает интерес к проблеме изучения реологических свойств полимеров, находящихся в вязкотекучем состоянии.

Классическая механика сплошных сред лежит в основе реологии. Действительно реология занимается свойствами вещества, трактуя эти свойства как соотношения между напряжениями и деформациями – а именно эти понятия центральные в механике сплошных сред.

Кратко сформулируем представления о напряжении, деформациии скорости деформации.

1. Напряжение

1.1 Общие принципы

Напряжения действуют внутри вещества и определяются силами, приложенными к телу безотносительно природы и причины происхождения этих сил. В некоторых ситуациях напряжения могут возникать внутри тела и в отсутствии внешних сил. Это имеет место, например, в случае неоднородности температурного поля, или если в материале сохраняется «заморженные» напряжения как следствие термической и механической предыстории тела или же вследствие его гетерогенности.

Любое воздействие на тело либо приводит к его перемещению как целого, либо к изменению его первоначальной формы, либо к наложению этих эффектов. Перемещение тела как целого - будь-то его движение в пространстве или вращение вокруг центра тяжести, происходящее без изменения формы тела составляет предмет механики.

Для рассмотрения в механике сплошных сред интерес представляет только то, что происходит внутри тела.

Приложенные силы создают динамическую ситуацию в любой точке тела, которая характеризуется физическим объектом, называемым напряжением.

Само понятие о напряжении весьма просто и очевидно. Рассмотрим в виде балки с поперечным сечением ( нормальным оси балки) равным S (рис 1). Сила F действующая по нормали к поверхности S, приводит к появлению относительной нагрузки в каждой точке равной F/S; это и есть растягивающее (или нормальное) напряжение Ϭ_Е.

(1)

Рис 1. Стержень, растягиваемый нормальной силой.

Сила, действующая на некоторую поверхность, может быть постоянной, но может быть распределена по поверхности неравномерно, то есть зависеть от координат конкретной точки. Например, трамвай, движущийся по рельсам, создает нагрузку в некоторых локальных областях (там, где колеса опираются на рельсы), то есть в этом случае усилия неоднородны и распределяются вдоль рельса некоторым довольно сложным образом

Тогда, чтобы избежать неоднородной картины распределения усилий, имеет смысл рассмотреть, что происходит на некоторой малой площадке ΔS. Можно рассчитать относительную силу ΔF, действующую на этой площадке ΔF/ΔS. Далее, если уменьшить площадку, то можно естественным образом перейти к пределу записанного отношения

(2)

Это выражение представляет собой более общее и более строгое определение напряжения, чем формула (1), поскольку оно относиться к некоторой конкретной точке и избегает возможности неоднородности распределения силы.

Однако и это недостаточно строгое определение. Так площадка ΔS может быть ориентирована различным образом, по отношению к силе, которая в свою очередь представляет векторную величину F. Этот вектор, как и вообще любой вектор, может быть разложен на три составляющие, действующие вдоль координатных (декартовых) осей. В частности вектор F, действующий на площадке ΔS, может быть представлен одной нормальной и двумя касательными (тангенциальными) компонентами по отношению к площадке ΔS. Первая из этих компонент называется нормальным, два остальные касательными напряжениями.

Далее ориентация площадки ΔS внутри тела также может быть произвольной. Это выражается произвольной ориентацией вектора n, который будучи нормальным к площадке ΔS, тем самым определяет её ориентацию.

Рис 2. Определение тензора напряжений - два вектора: сила F и ориентация площадки n.

Таким образом, напряжение оказывается результатом комбинации двух векторов F и n, определённых для некоторой конкретной точки (рис 2). Следовательно, напряжение следует определить как производную dF/dn. Такое определение представляет концепцию независимости напряжения как некоего физического объекта от выбора координатных осей, поскольку любой вектор существует вне зависимости от выбора системы координат.

Однако с практической точки зрения удобно оперировать не с векторами, а с их проекциями на координатные оси. При использовании декартовой системы координат вектор разлагается на три взаимно перпендикулярные компоненты , , .

Полное описание напряжения как физического объекта требует идентификации двух векторов, силы и нормали к поверхности, на которую действует эта сила. Физические объекты определяемы таким образом называют тензорами. Следовательно, напряжения это тензорные величины.

σ_zy

σ_zx

σ_zz

σ₃

σ_xz

σ_xy

σ_xx

σ₁

σ₂

σ_yz

σ_yx

σ_yy

Компоненты напряжения в теле могут быть определены из условий равновесности сил, действующихна бесконечно малый кубический элемент объема, ребра которого параллельны координатным осям , , (рис.3).

Риc. 3. Компоненты напряжения

В состоянии равновесии силы, действующие на единицу поверхности граней куба являются векторами,,которые могут быть разложены на девять составляющих в направлениях , , :

(3)

Первый индекс в величинах , определяет направление нормали к поверхности, на которую действует напряжение, а второй - направление действия напряжения. Совокупность величин полностью определяет картину действия сил в данной точке тела, т.е. ее динамическое состояние. Напряжение является тензором. Совокупность девяти величин, определяющих тензор напряжений , принято записывать в виде:

(4)

Часто направление вдоль осей , , обозначают индексами 1, 2, 3, тогда тензор напряжения записывается как

(5)

Диагональные члены называются нормальными напряжениями, поскольку они ориентированы нормально соответствующим площадкам, остальные члены тензора напряжения - касательными напряжениями, поскольку они действуют по касательным к соответствующим площадкам.

1.2 Закон парности касательных напряжений

В отсутствие ускоренного вращения тела суммарный крутящий момент действующий на элементарный кубик, также равен нулю, что приводит к равенствам

(6)

известным под названием закона парности касательных напряжений. Это равенство называется также правилом Коши.

Таким образом, из девяти компонент тензора напряжений независимыми являются шесть: три нормальных и три касательных. Если все компоненты какой-либо строки матрицы тензора напряжения равнынулю, то имеет место плосконапряженное состояние; если равны нулю все компоненты двух строк, то имеет место одномерное напряженное состояние. Говорят, что характер напряженного состояния в данной точке тела определен, если удается найти нормальные, касательные компоненты тензора напряжения, действующие на плоскость, проходящую в произвольном направлении через заданную точку.

1.3. Главные напряжения

Концепция главных напряжений отражает тот факт, что численные значения компонент напряжения зависят от ориентации площадки, на которой они действуют. Компоненты напряжения изменяются при вращении координатных осей. Тогда можно полагать, что существует такая ориентация, при которой численные значения компонент экстремальны – максимальны и минимальны. Эта идея иллюстрируется случаем двумерного напряженного состояниявытекающим из рис. 1. Пусть в теле балки сделано плоское сечение под углом α к её оси, как показано на рис. 4, а сила F действует под углом к плоскости аа. Тогда нетрудно вычислить два компонента вектора F – нормальную F_n и тангенциальную F_ϭсоставляющую соответственно

F_n = Fsinα; F_ϭ = cosα (7)

Рис. 4 Напряжение на наклонном сечении стрежня – разложение силы на нормальную и касательную составляющие.

Компоненты тензора напряжений можно найти, учитывая, что площадь наклонного поперечного сечения равна S/sinα. Компоненты тензора напряжений равны отношению силы к площади на которой они действуют, то есть:

нормальное напряжение Ϭ_E

(8)

касательное напряжение Ϭ

(9)

где ϭ₀=F/S

Можно выделить несколько направлений ориентации площадки действия силы, представляющие специальный интерес:

· при α = 90° нормальное напряжение Ϭ_E = Ϭ₀ максимально, а касательное напряжение Ϭ = 0;

· при α = 45° нормальное напряжение Ϭ_E = Ϭ₀/2, а касательное напряжение Ϭ = Ϭ₀.максимально;

· при α = 0° нормальное напряжение Ϭ_E = Ϭ = 0. Ϭ₀/2, то есть площадки ориентированные в этом направлении свободны от напряжений.

Таким образом, при любой ориентации площадок в теле как нормальное, так и касательное напряжения могут существовать безотносительно того, что в исходной картине нагружения (рис. 1) действовало только нормальное напряжение. Более того, всегда существуют такие направления ориентации, в которых либо нормальное, либо касательное напряжения максимальны. Последний вывод особенно интересен, поскольку различные материалы по-разному сопротивляются действию растяжения (нормальных сил) или сдвигу (тангенциальных сил).

Так, например, очень трудно сжать жидкость (сжатие эквивалентно действию отрицательных нормальных напряжений), но сравнительно просто осуществить сдвиг, то есть сместить один слой жидкости относительно другого, подобно сдвигу карт в колоде. Другой случай – растягиваемая тонкая пленка (например, оболочка баллона под действием внутреннего давления) разрушается вследствие приложения нормальных напряжений, в то время как в этом случае касательные напряжения практически отсутствуют.