Метод конечных элементов.

Особенности проведения численного эксперимента.

После получения мат. модели одним из численных методов появляется возможность выполне­ния численного эксперимента. Процедура численного эксперимента: по своей сути ближе к экспериментальному, чем теоретическому исследованию.

При проведении вычислительного эксперимента исследователь как бы включает модель и далее следует, что происходит аналогично, как экспериментатор следит за физической систе­мой.

В то же время при проведении численного эксперимента имеются численные преимущества, которые нам доступны при ее изготовлении. Тем самым можно рассм-ть гораздо более широ­кий круг вариантов и состояний исследуемой сис-мы.

В практике уже существовали примеры, когда в пр-се проведения численных экспериментов открывались новые физ. явления. Тем не менее, любой рез-т , полученный в рез-те численного эксперимента можно считать достоверным, только в случае его подтверждения физическим экспериментом.

 

К основным преимуществам метода конечных эл-ов относят доступность и простоту его понимания, универсальность и применимость для задач с произвольной формой области решения. В методе конечных эл-ов исходная область определения ф-ции разбивается так же с помощью сетки. В общем случае неравномерной, на отдельные подобласти, которые наз-ют конечными эл-ми.

Искомая непрерывная ф-ция аппроксимируется кусочно-непрерывной, определяемая на мн-ве конечных эл-ов. Аппроксимация можем задаваться произвольно, но чаще всего для этих целей используют полиномы, коэф. которых д.б. подобран таким образом, чтобы обеспечить непре­рывность искомой ф-ции в узлах на границах эл-ов. Для геометрически одномерной задачи в качестве конечных эл-ов принимают отрезки. Для 2-х мерных областей могут выбираться треугольники либо четырехугольники. Для 3-х мерных – тетраэдры и параллелепипеды. В об­щем случае алгоритм метода конечных эл-ов состоит из 4 этапов:

1 этап: выделение конечных эл-ов внутри исследуемой области путем разбиения этой области на конечные эл-ты. Нумерация всех эл-ов и нумерация всех узлов полученных на границе между двумя эл-ми.

2 этап: определение или задание аппроксимирующей ф-ции для каждого эл-та.

Следующей задачей этапа явл-ся определение коэф. или пар-ов ф-ции эл-ов через значения ф-ции в узловых точках и координаты узлов. В рез-те получают сис-му у-ний, для ф-ции каждого эл-та через так называемые ф-ции формул. Последние легко вычисляются через координаты узла и значения ф-ции в узлах эл-та.

3 этап: применение спец. математического аппарата, с помощью которого получают сис-му алгебраических у-ний относительно значений ф-ций в узлах, полученной сетки. Эта сис-ма и явл-ся моделью искомой непрерывной ф-ции. Данный этап явл-ся наиболее сложным. В качестве матем. методов для получения этой модели м.б. использован метод минимизации функционала, метод Галеркина и др.

4 этап: решение полученной сис-мы у-ний относительно значений в узлах расчетной сетки. После получения этих значений можно вычислить значения искомой ф-ции в любой точке об­ласти, используя у-ния для ф-ции эл-ов.

Если у нас одномерная задача:

 

 

Двухмерное (разбиваем на треугольники):

(1).для т.1

(2).для т.2

…………….. и.т.д.

 

Для отрезков:

находим а1 и в1.

, .

.

Аналогично:

Если мы возьмем тепловой поток в точке 1, то .

, , .

.

 

 

Если мы возьмем, металлический стержень и поместим его один конец в кипящую жидкость Т2, а другой – в тающий лед.