Имперические методы построения математической модели.

Имперические методы построения мат. модели базируются на одном из важнейших путей поз- нания, а именно измерения физ. величины.

Измерение дает оценку количественной величины на основе ее преобразования и установления взаимного однозначного соответствия, между размером величины и некоторым множеством допустимых размеров данной величины. При этом под физ. величиной – понимают определен- ные св-ва, общие в качественном соотношении многих физ. объектов их состояния и протека- ющих в них пр-сах, но индивидуальное в количественном отношении для каждого объекта.

Размер физ. величины отражает количественное содержание в данном объекте определенного св-ва, соответствующий понятию физ. величины.

Величины м.б. первичными– если их можно выбрать в качестве координат и их производных по времени, при изучении исследуемой сис-мы; и вторичными – которые так же хар-ют св-ва изучаемой сис-мы, но выражаются через первичные переменные, и м.б. определены в пр-се обработки данных от первичных, т.е. измеряемых величин.

1.в зависимости от хар-ра изменения величин во времени, разделяют на: статические величины и динамические величины, или стационарные и нестационарные.

2.по способу получения значения измеряемой величины измерения делятся на: прямые – когда искомое значение величины находят непосредственно измерением; косвенные – при которых значение искомой величины определяют по известной зависимости между этой величиной, которые определяются прямым измерением; совокупные– когда по прямым измерениям ряда одноименных величин находят решения сис-мы у-ния, которые и соответ- ствуют значению искомой величины; совместное– когда по измерениям ряда неодноименных величин определяют зависимости между ними.

Средства измерения – это технические устройства, используемые при (для) измерения, и име- ющие нормированные метрологические св-ва.

Принципы измерений – это совокупность физ. явлений на которых основано измерение.

Метод измерения – это совокупность приемов использования принципов и средств измерения.

Погрешность измерения в зависимости от источника возникновения разделяют на погрешности: классификации, методические, алгоритмические, аппаратурные или инструмен- тальные и внешние.

Классификация погрешности обусловлена несоответствием исследуемого объекта приписанной ему модели. Сущ-ет термин “пороговой” погрешности. Погрешность обусловленная пороговым несоответствием д.б. меньше полной погрешности измерения.

Методическая погрешность – определяется недостаточной разработанностью в теории техни- ческих явлений, которые положены в основу измерений и тех соотношений, которые используются для оценки измеряемой величины.

Алгоритмическая погрешность – определяется несоответствием алгоритма измерения, матема- тическому определению измеряемой хар-ки.

Аппаратные или инструментальные погрешности – определяются качеством определения ап- паратуры и степенью ее изношенности.

Внешние погрешности – возникают при действии различных факторов, внешних по отношению к средству измерения. Разделяют: систематические и случайные погрешности.

Систематические погрешности – постоянны, или систематически меняются. Их можно обнару- жить, сделать их оценки и ввести поправку (однако полностью исключить их нельзя).

Случайные погрешности – это индивидуально непредсказуемые составляющие погрешности измерения, хар-ки и закономерности измерения проявляются на значительном числе рез-тов измерения.

Качество измерений хар-ся: правильностью, сходимостью, воспроизводимостью.

Правильность измерения – отражается стремлением к нулю систематической ошибки.

Сходимость – отражает близость рез-тов измерения, выполненных в одних и тех же условиях. Их хорошая сходимость свидетельствует о малом значении случайных погрешностей.

Качество измерений отражающих близость рез-тов измерений, выполненных в различных условиях, а именно в различное время, в различных местах, различными экспериментами, различными средствами хар-ся воспроизводимостью измерений.

При измерении различают: абсолютные, относительные и приведенные погрешности, а так же грубые ошибки и промахи.

Под абсолютной погрешностью понимают разность рез-в измерения и истинного значения величины.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины.

Приведенная погрешность – это отношение абсолютной погрешности, измеряемой величины, к мах. возможному в данном исследовании, или к мах. значению шкалы прибора.

Грубые ошибки – это погрешности, существенно превышающие уровень оправданных условий проведения эксперимента.

Промахи – это ошибки вследствие неправильных действий экспериментатора.

При записи рез-та измерения последняя значащая цифра в рез-те д.б. того же порядка что и погрешность.

Если же необходимо производить вычисления по рез-м измерений, то в расчетах используемые величины должны, как правило, содержать на 1 значащую цифру больше, чем это оправданно. В конце же расчета окончательный ответ следует избавить от добавочной не значащей цифры. При проведении расчетов, по рез-м измерения их часто наз-ют косвенными измерениями. В этом случае мах. возможная погрешность м.б. записана: , .

, .

 

Применение метрического метода мат. модели объясняется рядом недостатков аналитического метода. Во-первых, аналитический метод чрезвычайно сложно использовать для больших технологических сис-м, по причине пр-сов, протекающих в них, и как недостатка инф-ции об этих пр-сах.

Во-вторых, аналитические модели, как правило, имеют сложный грамосткий вид, что затрудняет их использование на этапах эксплуатации технического объекта, и при построении сис-мы управления техническими объектами.

В тоже время имперический метод позволяет получить простые по виду мат. модели, но они носят так называемый локальный хар-р, т.е. они справедливы для достаточно узких пределов изменения пар-ров технического объекта.

Построение мат. модели империческим способом содержит основные этапы:

1. Планирование эксперимента.

2. Реализация эксперимента на объекте исследования.

3. Обработка полученного экспериментального материала.

Долгое время планирования эксперимента базировалось на опыте и умении экспериментатора, а вид мат. модели определяется только на заключительном этапе обработки данных.

Последние 10-тилетие при проведении экспериментальных работ широко используется теория планирования эксперимента.

Развитие теории планирования эксперимента было связано с решением задач:

1 Как найти подходящую мат. модель, затрачивая по возможности мин. усилий на проведении эксперимента.

2. Как спланировать эксперимент, чтобы получить мах. инф-цию о исследуемом пр-се. При планировании эксперимента традиционным методом поочередно изменяется только 1 пар-р, все остальные сохраняются на заданном уровне. Число опытов при однократном проведении определяется произведением числа измерений каждого фактора:

, где m – число измерений каждого пар-ра, n – число пар-ров.

При использовании теории и планировании объекта предмет рассм-ют как черный ящик.

Теория планирования предполагает, что вид модели, а именно функциональные зависимости откликов от факторов задаются на 1 этапе – этапе планирования. А на последнем этапе проверяют адекватность модели и принимают решение о продолжении или прекращение эксперимента.

Если проверка на адекватность дает положительный рез-т, то эксперимент заканчивается, в противном случае осуществляется переход к 1 этапу, задается более сложный вид модели, выбирается соответствующий план и эксперимент повторяется. При этом план предыдущего этапа явл-ся составной частью плана последующего этапа.

При этом при проведении эксперимента опытные точки выбираются таким образом, чтобы одновременно применять все факторы по определенной программе.

Данные подходы весьма эффективны, когда исходные зависимости задаются полиномами:

,

Многие виды у-ний м.б. приведены к полиному, в частности через обратное преобразование:

,

через логарифмическое преобразование:

мультипликативная: .

Таким образом, теория планирования эксперимента разработанная для у-ния в виде полинома м.б. распространена на широкий круг у-ний другого вида. Для формализации планов и экспериментов, область исследования (область применения факторов) приводят к нормированному виду. В виде квадрата – для 2-х факторного эксперимента, в виде куба – для 3-х факторного, гиперкуба – для многофакторного эксперимента.

диапазон изменения фактора в натуральных величинах определяется через 2 интервала Δх1.

.

Центральная точка с координатами - наз-ют центром эксперимента. Далее записывают или выбирают план эксперимента который представляется в виде таблицы:

№ оп.	факторы	отклик, y

При использовании теории планирования одновременно изменяют все или несколько факторов по определенной программе. При этом само проведение базируется на рандомизации т.е. процедуре искусственного создания случайных условий. Таким образом сущ-ть проведения эксперимента состоит в выборе оптимального кол-ва точек в области эксперимента (в факторном пространстве) и размещение их в этом пр-ве, так чтобы у-ние пов-ти отклика было определенно с наименьшей погрешностью. При этом каждая экспериментальная точка выбирается случайным образом во времени и пр-ве. Совокупность опытных точек сведенных в матрицу и наз-ют плановым экспериментом, которые классифицируются по ряду признаков:

1. Однофакторный эксперимент.

2. Полный факторный эксперимент.

3. Дробный факторный эксперимент.

4. Симплекс план и т.д.

Рассм-м на примере полно факторного эксперимента задачу нахождения регрессионного у-ния для 3 факторов. 2-х уровневый факторный полный эксперимент, предполагает число опытов , где к – число факторов. Уровень плана определяется видом регрессивного у-ния. В данном случае для линейного у-ния достаточно проведения 4 опытов: . Для у-ния, учитывающего совместное влияние факторов необходимо проведение опытов: .

Для последнего у-ния план представляется в виде матрицы:

№ опыта	Значение факторов	значение отклика, у
х1	х2	х3
	-1	-1	+1	у1
	-1	-1	-1	у2
	-1	+1	-1	у3
	+1	+1	+1	у4
	-1	-1	-1	у5
	+1	-1	+1	у6
	-1	+1	+1	У7
	+1	+1	-1	у8

 

Факторное пр-во представляется в виде нормированного куба. Опытные точки выбираются в вершинах куба. Каждый опыт проводится не менее 2 раз. Из матрицы из рисунка видно, что последовательность опытов выбрана случайным образом в пр-ве. Т.к. каждый опыт занимает определенное время, то опыты рандомизированны и во времени. После проведения опыта с использованием метода наименьших квадратов, определяются коэф-ты регрессивного у-ния. После получения пар-ров, т.е. коэф-в производится оценка адекватности модели, которая оценивает точность определения по данному у-нию отклика и значимости коэф-в.

Следует напоминать, что полученная мат. модель справедлива только в пределах исследуемой области изменения факторов. После определения мат. модели и ее анализа на точность, можно определить оптимальное значение отклика в исследуемой части отклика, и провести в соответствующей точке или точках дополнительного опыта.

Сущ-ет так же критерий оптимальности плана, по которым планы экспериментов делятся на 2 группы:

1. Когда необходимо получить с большей точностью коэф-ты у-ния регрессии.

2. Получение более высокой точности оцениваемого отклика.