Структурные средние.

Понятие средней величины (СВ). Способы расчета средней.

Показатели вариации.

Структурные средние.

Понятие средней величины (СВ). Способы расчета средней.

Каждая однородная статистическая совокупность состоит из массы отдельных единиц, кот. обладают индивидуальными особенностями и поэтому отличаются друг от друга по размеру кол-ного признака.

Для получения обобщающей хар-ки большого кол-тва индивид. значений варьирующего признака рассчитываются средние величины.

Следует отметить, что к средней величине обращаются не только тогда, когда речь идёт о вариации признака, но и когда необходимо дать обобщающую инф-цию по всей совокупности.

Под средней величиной понимают обобщающий показатель, хар-щий типичный уровень или размер варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Таким образом средняя величина – это величина, кот. одним значением хар-ет нечто общее для совокупности в целом.

Средняя величина в статистике:

1) хар-ет типичный уровень варьирующего признака;

2) отражает то общее, что хар-но для всех единиц совокупности;

3) взаимопогашает различия, кот. наблюдаются у отдельных единиц совокупности.

Средние величины могут быть исчислены по непосредственному перечню значений варьирующего признака у каждой единицы совокупности.

Т.е. средняя величина может быть рассчитана по первичным несгруппированным данным и по сгруппированным данным. Такие средние назыв. простыми и взвешенными.

Если средние вычисляются по варьирующему ряду сгруппированной инф-ции с учетом статистического веса каждого варианта, то их назыв. взвешенными средними.

Способы расчета средней зависят:

1) от того какой инф-цией мы обладаем для расчета средней;

2) от хар-ра осреднённой величины.

Исходной базой расчета и критерием правильности выбора формы средней величины явл. исходное соотношение средней или смысловая формула.

Смысловая формула – это словесное описание методологии расчета средней величины.

Общий вид смысловой формулы:

Для каждого среднего показателя используемого в соц.-экон. анализе можно составить только одну смысловую формулу для расчета среднего показателя.

Пример.

Составим смысловую формулу для расчета средней ЗП.

Средняя цена ед. продукции:

Средний стаж 1-го работника:

Средний процент выполнения плана по выпуску про-ции:

Выбор формы и вида средней величины происходит след. образом:

1) если известен знаменатель смысловой формулы и неизвестен числитель, то используют среднюю арифметическую;

2) если известен числитель смысловой формулы и неизвестен знаменатель, то выбираем форму средней гармонической;

3) если исходная инф-ция несгруппирована, то используют простую среднюю;

4) если исходная инф-ция сгруппирована, то используют среднюю взвешенную.

В статистике применяются 2 наиболее распространённых вида средней величины: средняя арифметическая и средняя гармоническая. При этом каждый из этих видом может иметь 2 формы: простую или взвешенную.

Средняя арифметическая простая – это отношение суммы значений признака в отдельных единицах совокупности к числу единиц совокупности.

x – значение признака в каждой единицы совокупности

n – кол-тво единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная – это отношение общего размера значений признака во всех единицах сгруппированной совокупности к численности единиц во всех группах.

m – веса, т.е. число ед. совокупности в каждой отдельной группе или может быть удельный вес каждой отдельной группы.

Средняя гармоническая простая – это обратное значение средней из обратных значений варьирующего признака, т.е. вариантов.

Средняя гармоническая взвешенная – это обратное значение средней из обратных значений варьирующего признака во всех единицах сгруппированной совокупности.

Для наглядности нарисуем схему форм и видов средних величин:

Средние величины:
Формы:	Виды:
простая	взвешенная	суммарные:	структурные
		- параболические; - логарифмические; - степенные (арифметическую, гармоническую, гармоническую	- мода; - медиана; - децили; - квартили

Пример.

По пр-ю, занимающемуся торговлей ценных бумаг, имеются данные о приобретении акций в 2-х акционерных обществах.

АО	Август	Сентябрь
Кол-тво приобр. акций, шт (m)	Цена 1 акции, грн (x)	Стоим-ть приобр. акций, грн (m)	Цена 1 акции, грн (x)
№1
№2
Итого		х		х

Опр-ть среднюю цену одной приобретённой акции по 2-м акционерным обществам в августе и сентябре.

Как изменилась средняя цена акции в абсолютном и относительном выражении.

Т.к. инф-ция сгруппирована и в смысловой формуле известен знаменатель и неизвестен числитель будем использовать среднюю арифметическую взвешенную.

В августе по 2-м акционерным обществам акции скупали в среднем по цене 12,80 (грн) за единицу.

Т.к. в сентябре месяце в смысловой формуле известен числитель и неизвестен знаменатель, инф-ция сгруппирована, веса неравны, то будем использовать среднюю гармоническую взвешенную.

В сентябре по 2-м АО в среднем скупали по 13,78 грн за единицу.

Абсолютное значение изменения ед. акции:

Относительное значения изменения ед. акции:

14.09.

В сентябре месяце по сравнению с августом средняя цена одной акции выросла на 0,98 грн или в 1,077 раза, т.е. на 7,7%

Модой в статистике назыв. наиболее часто встречающиеся значения признака либо варианта совокупности. В дискретном вариационном ряду мода – это вариант, обладающий наибольшей частотой.

Для опр-ния моды в интервальном вариационном ряду сначала отыскивается модальный интервал (т.е. интервал, обладающий наибольшей частотой), а в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения.

Формула моды для интервальных вариационных рядов с равными интервалами:

– нижняя граница модального интервала (интервала,

– частота модального интервала

– частота предмодального интервала

– частота постмодального интервала

– ширина модального интервала.

Медиана – это значение признака у той единицы совокупности, кот. делит упорядоченный, ранжированный вариационный ряд пополам, т.е. половина совокупности имеет значение меньше медианы, а другое – больше.

В дискретном вариационном ряду медиана – это интервал, кот. находится в центре ранжированного ряда.

Нахождение медианы в интервальном вариационном ряду требует предварительного нахождения медианного интервала.

Таким интервалом будет тот, накопленная (коммулитативная) частота кот. равна или превышает полу сумму частот ряда распределения.

После опр-ния медианного интервала, медиана вычисляется путём линейной интерпретации, т.е. по формуле:

– это нижняя граница;

– частота медианного интервала;

– накопленная частота в предмедианном интервале или накопленная частота до медианы;

– ширина медианного интервала.

Пример.

Имеются след. данные о распределении работников пр-я по уровню ЗП

ЗП, грн	Числ. раб., чел.	S, чел	х’, грн (середина интервала)	x’m, грн.
200-300
300-400
(Ме) 400-500	(m_ме) 4	(Sме) 10
500-600
Итого		х	х

Опр-ть моду и медиану.

На данном пр-и чаще всего встречаются работники с ЗП 380 грн.

Половина работников данного пр-я получают ЗП менее 425 грн, другая половина – больше.

Расчет средней величины в интервальном вариационном ряду распределения несколько отличается от расчета в дискретном вариационном ряду.

Для опр-ния средней величины в интервальном вариационном ряду распределения необходимо сначала найти середину ряда, таким образом перейдя от интервального вариационного ряда распределения к дискретному, потом расчет средней происходит обычным способом.

Обоснование формы и вида ср. величины.

Т.к. в смысловой формуле известен знаменатель, инф-ция сгруппирована, веса неравны, и мы осуществили переход от интервального вариационного ряда к дискретному, то будем использовать среднюю арифметическую взвешенную модифицированную.

Работники данного пр-я в среднем получают 428,57 грн.

Наряду с медианной для более полной хар-ки стр-ры изучаемой совокупности применяют и др. значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду опр-ное положение. К ним относятся квартили и децили.

Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили – на 10 частей.

Расчет этих показателей в вариационном ряду аналогичен расчету медианы и начинается с нахождения порядкового номера соотв. варианта и опр-ния по накопленной частоте того интервала, в кот. этот вариант находится. Затем с помощью линейной интерпретации, т.е. по формуле.

Квартиль находится по формуле: