Векторное представление гармонического сигнала.

 

При гармоническом воздействии решить дифференциальное уравнение (ДУ) не прости. Поэтому в математике применяются символические методы решения уравнений, в частности, метод комплексных амплитуд. Суть его в том, что гармонической функции ставится в соответствие комплексная функция, тогда система ДУ преобразуется в систему алгебраических уравнений, в которых переменными являются комплексные амплитуды напряжений или токов.

После решения системы уравнений производят обратное преобразование: по комплексной переменной находят функцию времени.

В основе преобразования гармонической функции в комплексное число лежит формула Эйлера ,

где j = √-1

Пусть α = θ(t) = (ωt + φ₀), Тогда мгновенное комплексное значение гармонической функции, например, напряжения u(t) можно записать в тригонометрической форме

Мгновенное значение напряжения является реальной частью мгновенного комплексного значения, т.е.

u(t)=Re [u(t)] = U_mcos(ωt + φ).

Мгновенное комплексное значение можно записать в показательной форме:

 

где - комплексная амплитуда напряжения

или - комплексная амплитуда тока.

Комплексная амплитуда не зависит от времени.

Множитель называется оператором вращения. Он характеризует изменение функции во времени.

Таким образом, показательна форма примет окончательный вид

 

 

Мгновенное комплексное значение может быть записано и в алгебраической форме

 

где a – действительная, b – мнимая часть.

Сравнивая тригонометрическую и алгебраическую формы, получим

a = Um∙cos(ωt + φ) , b = Um∙sin(ωt + φ).