Тождественные преобразования.
Различные подходы к определению понятия тождество.
Тождественные преобразования представляют собой одну из главных линий школьного курса математики. На их основании у учащихся формируется представления об аналитических методах математики. Как правило, при выполнении практически любого задания по алгебре выполняется тождественные преобразования. В учебниках алгебры даются следующие определения понятия тождество:
1) Равенство, верное при любых значениях переменных называется тождеством;
2) Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных называется тождеством;
3) Равенство, верное при любых значениях переменных, принадлежащих данному множеству называется тождеством на этом множестве.
Не трудно заметить, что тождество в смысле определения 1 является тождеством в смысле определения 2 и 3. Обратное, выполняется не всегда, следовательно, приведенные определения не эквивалентны между собой.
Определение 3 дается школьникам тогда, когда рассматривают иррациональные преобразования, показательные логарифмические функции, тригонометрические функции и обратные.
Необходимо иметь ввиду: в школе очень часто делают неравносильные преобразования, и при этом происходит расширения или сужение области определения. Школьники должны понимать, что в этом случае надо сделать проверку при решении или уравнения или найти область определения при решении неравенства.
Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований.
Основной принцип организации любой системы заданий это изучение от простого к сложному с учетом преодоления учащимися пассивных трудностей. При изучении тождественных преобразований в методике математики используется понятие цикла упражнения (Дорофеев Г.Г.)
Цикл упражнений характеризуется соединением нескольких аспектов изучения и приемов расположения материалов. Цикл упражнений связан с одним тождеством, вокруг которого группируется другие тождества. Задания в цикле разбиты на две группы:
1) Первоначальное знакомство с тождеством;
2) Связывает данное тождество с различными приложениями.
Здесь чего-то нет…
13. Уравнения и неравенства, их классификация, равносильность.
Материал, связанный с данной темой, составляет значительную часть школьного курса. Это объясняется том, что уравнения и неравенства широко используются в математике и в прикладных задачах. Истоки алгебраического метода решения задач связан с наукой древнего мира. Первое применение уравнений было для решения практических задач. Открытие координатного метода Декартом (1596 – 1650), а затем развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру к геометрии. Это линия дала дальнейшее продолжение изучения уравнения как ведущего алгебраического метода.
Исторически сложились три области применения уравнения:
1) Уравнение как средство решения текстовых задач;
2) Уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;
3) Уравнение как формула, в которой поставлено определение числа или координаты точки служащей его решением.
Уравнение общематематическое понятие. Ни один из этих аспектов нельзя исключить из рассмотрения в школе. Ввиду важности материла современные МПМ выделили содержательно методическую линию – линию уравнений и неравенств.
Здесь рассматриваются вопросы:
1) Формирование понятий уравнений и неравенств;
2) Общие и частные методы решения уравнений и неравенств;
3) Взаимосвязь изучения уравнений и неравенств с числовой функции и другими линиями школьного курса.
Выделенным областям соответствует три основных направления:
1) Прикладная направленность. В школе чаще всего раскрывается при изучении алгебраического метода решения текстовых задач;
2) Теоретико-математическая направленность. Раскрывается в двух аспектах:
a) Изучение наиболее важных классов уравнений и неравенств и их систем;
b) Изучение обобщенных понятий и методов относящихся к линии в целом;
3) Направленность на установление связей и остальным курсом математики.
Уравнения и неравенства классифицируются по виду функций представляющих левую и правую части:
1) Линейные уравнения;
2) Квадратные;
3) Дробно рациональные;
4) Иррациональные;
5) Трансцендентные (тригонометрические, обратно тригонометрические, показательные, логарифмические).
Основные понятия линии уравнений и неравенств.
Понятие уравнения – общематематическое понятие, школьникам формулировка определения малопонятно (недоступно).
Логико-математическое определение уравнения: Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х – переменная на множестве М, тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида: а(х)=в(х), где а(х) и в(х) – термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х.
Принятым в лике термином «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражения» и «предложения» с переменной. Поэтому наиболее близкое к формальному определению это предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной называется уравнением.
В действующих учебниках даются следующие определения:
1) Алгебра и начало анализа Колмогоров:
Опр. Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной при которой равенство с переменной обращается в верное числовое равенство называется корнем уравнения.
2) Алгебра 6 класс Алимов и др.
Опр. Равенство содержащее неизвестное число обозначенное буквой называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.