Решение уравнения Бакли – Леверетта.

В процессе нагнетания воды в пласт ее насыщенность будет меняться со временем вдоль направления движения x. Связь между S, x и t можно записать в функциональной форме S = S (x, t) или, что эквивалентно, в дифференциальной форме

. (11.11)

Рассмотрим на плоскости такие линии , вдоль которых насыщенность принимает заданное постоянное значение. Эти линии называются изосатами (т.е. линии постоянной насыщенности).

Для любого заданного значения можно установить такую связь между x и t, что удовлетворяется уравнение S = S (x, t) = const или эквивалентное дифференциальное уравнение.

Решим совместно два уравнения:

(11.12)

Решение системы уравнений (11.12) дает соотношение между x и t в дифференциальной форме.

Из решения уравнений (11.12) находим: (11.13)

Производная dx/dt вычисляется при постоянном значении S, т.е. dx/dt = ¶x/¶t.

Найдем положение х (после интегрирования 11.13) заданного значения насыщенности как функцию времени:

, (11.14)

где хо – значения координат с начальной водонасыщенностью So при t = 0.

Таким образом, уравнения (11.13) и (11.14)

dx/dt = w/mf¢(s) и x(s) = w/mf¢(s)t + xo

можно использовать для расчета скорости и координаты данного значения насыщенности в области непрерывного профиля, и уравнения

(11.15)

индексом “с” обозначены величины, относящиеся к фронту (скачку) насыщенности, а , выражение (11.15)задает скорость Vc распространения фронта насыщенности и известно как условие на скачке.

Равенство (11.15) имеет простой геометрический смысл: скорость скачка Vc пропорциональная тангенсу угла наклона к оси S секущей, соединяющей точки кривой f(S), имеющие абсциссы с коэффициентом пропорциональности w/m.

Если насыщенности по обе стороны фронта постоянны, уравнение (11.15) можно проинтегрировать и найти положение фронта как функцию времени:

, (11.16)

где хco – положение скачка при t = 0 (хco = 0).

При помощи (11.15) и (11.16) можно найти скорость и положение скачка насыщенности.

Приведем простой способ графического построения профиля насыщенности, который состоит в следующем (рис. 19):

1). В соответствии с данными о фазовых проницаемостях флюидов по формуле (*) кривая Бакли – Леверетта f(S).

2). Из точки а на кривой f(S), соответствующей начальной водонасыщенности So в пласте , проводится касательная к f(S).

3). Насыщенность в точке касания Sс есть насыщенность, которая устанавливается в пласте непосредственно за фронтом (т.е. );

4). Отрезок на рис. 19 б представляет величину скачка насыщенности Sс – So, которая не меняется со временем (стационарный скачок);

5). Скорость перемещения постоянных насыщенностей, больших Sс, пропорциональна наклону касательной к f(S) в соответствующей точке.

 

Расчет определения насыщенности

1). Определим насыщенность Sс на скачке (фронтальную насыщенность) из уравнения

(11.17)

При численных расчетах Sс вместо решения уравнения (11.17) удобно использовать (эквивалентный) способ, не требующий дифференцирования экспериментальной функции f(S). За фронтальную насыщенность следует принять те значения S, которые обеспечивают максимум дроби:

(11.18)

Условие (11.18) означает, что на скачке реализуется то (условие) значение насыщенности, которое обеспечивает ей наибольшую скорость.

2). Зная Sс, из (263) ( ) определяют положение хс, скачка насыщенности.

3). По (11.14) рассчитывают непрерывную ветвь профиля насыщенности при Sс < S < S* и 0 < x < xc.