Закон фильтрации вязкопластичной жидкости в идеальной пористой среде
Пусть имеем идеальный грунт, образованной одной системой капилляров (см. рис. 1.12), тогда течение в каждом капилляре описывается формулой Бэкингема (10.2). Однако при описании фильтрации ВПЖ в идеальных пористых средах обычно пользуются приближенной формулой (10.2), в которой пренебрегают последним слагаемым в квадратных скобках. В результате для описания «фильтрационного» течения ВПЖ в капилляре имеем формулу вида:
(10.3)
Заметим, что формула (10.3) так же, как и формула (10.2), определяет истинную среднюю скорость фильтрации при приложении градиента давления только вдоль оси симметрии капилляра.
Чтобы перейти от истинных средних скоростей к скоростям фильтрации, необходимо подсчитать расход через элементарную ячейку и «размазать» его по всей грани ячейки, т.е. умножим соотношение (10.3) на и полученный результат разделим на а2 (размеры элементарной ячейки, см. рис. 1.12). В результате такого преобразования приближенной формулы получим
(10.4)
где ω – модуль скорости фильтрации.
Соотношение (10.4) определяет скорость фильтрации в одной системе капилляров в случае, когда направление градиента давления совпадает с направлением оси симметрии капилляра. Очевидно, что в общем случае взаимная ориентация оси симметрии и направления градиента давления может быть произвольной. Поэтому необходимо рассмотреть модельную задачу о фильтрации ВПЖ в одной системе капилляров. Приведем без вывода результат такого преобразования
(10.5)
где li - орт, задающий направление оси симметрии системы капилляров (заметим, его направление совпадает с направлением вектора скорости фильтрации);
- модуль скалярного произведения орта и градиента давления,
- значение предельного градиента для системы капилляров,
проницаемость. Латинские индексы i и j обозначают компоненты векторов и тензоров, и по ним подразумевается суммирование.
Выписанное соотношение (10.5) еще не определяет закон фильтрации ВПЖ, так как онозадает лишь уравнение фильтрации при выполнении условия начала течения (в изотропном случае ). Поэтому, для того чтобы записать закон фильтрации ВПЖ в идеальном грунте, образованном одной системой капилляров, необходимо сформулировать условие начала течения. В качестве условия начала течения можно задать неравенство, которое следует из условия отрицательности работы сил трения при движении жидкости в пористой среде
(10.6)
После подстановки в неравенство (10.6) уравнение фильтрации (10.5) условие начала течения в направлении li принимает вид
Из последнего неравенства следует
(10.7)
Таким образом, в модели идеального грунта, образованного одной системой капилляров, течение ВПЖ начинается при условии, что длина проекции вектора градиента на направление оси симметрии капилляров превышает предельный градиент, который представляется в виде 4γ/3. После определения условия начала течения линейный закон фильтрации вязкопластичной жидкости в идеальном грунте запишется в виде
при (10.8)
при
Понятно, что аналогичные рассуждения можно произвести и для формулы Бэкингема (т.е. без отбрасывания нелинейного слагаемого). Тогда получим нелинейный закон фильтрации в виде
при (10.9)
при
Отметим, что в условии начала течения в (10.9) стоит значение γ, а в законе фильтрации (10.8) стоит значение предельного градиента, умноженное на численный коэффициент. Данное обстоятельство обусловлено линеаризацией точного решения при переходе к закону течения ВПЖ, используемому в теории фильтрации. Численный множитель можно рассматривать как коэффициент формы.
Законы фильтрации (10.8) и (10.9) можно обобщить на случай изотропных пористых сред. В случае изотропных пористых сред линейный и нелинейный закон фильтрации ВПЖ принимают, естественно, следующий вид
при (10.10)
при
при (10.11)
при
где - модуль градиента давления.
Законы фильтрации (10.8) - (10.11) выписаны в индексной форме записи. Нелинейный закон фильтрации (10.11) записывается в виде
при
при .
Самостоятельно:
Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток вязкопластичной жидкости /Басниев 2005, стр. 296/,
Плоскорадиальный фильтрационный поток ВПЖ /Басниев 2005, стр. 301/
Неустановившаяся фильтрация ВПЖ /Басниев 2005, стр. 303/
Особенности фильтрации вязкопластичной жидкости в анизотропных пористых средах /Басниев 2005, стр. 310/