Гармонические колебания и их характеристики. Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении.

Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии.

Работа силы. Мощность.

Если материальное тело движется по произвольной траектории (рис. 1) материальное тело характеризуется радиус-вектором относительно т. О. На нее действует сила F.

Элементарной работой силы на малом перемещении т. М приложенной силы называется скалярное произведение на , то есть:

 

=( )

=Fdrcosα

=( ) =( )=( )dt

, если:

1) dr=0;

2) ;

3) α< , >0;

4) α> , <0;

Мощностью N силы называется отношение элементарной работы , совершаемой этой силой F за малый промежуток времени к его длительности.

 

скорость перемещения точки перемещения силы.

 

 

Механика включает 2 вида энергии:

1.Кинетической энергией наз-ся энергия механического движения системы.

dW_k=( ,dr)=( , )dt

dt=d =>dW_k=(d ,v)= (d , )

( ,d )= d( , )= d( ²)= d

dW_k=( ,d )= d( ²)

W_k= ²= mv²

Для малого элемента массой dm кинет.энергия dWˈ_k, если этот элемент стоит на расстоянии r от оси вращения. dW_k= vdm= w²R²dm

W`_k= w²R²dm= w² K²dm= w²

W_k=W_k^пост+W_k^вращ= mv²+ w²

2.Кроме кинетич.энергии тело может обладать потенциальной энергией.

Если F(x,y,z) одинаковая во всех точках и направлениях;F(t)=const; то такая сила наз-ся консервативной.

В консервативных системах (действ. только внутри системы) работа действующих сил зависит от начального и конечного положения

A_1a2=A_1b2=A_{12 ,}

A_1a2b1=A_1a2+A_2b1=A_1a2-A_1b2=0

 

 

A= dr – уравнение циркуляции в-ра F вдоль замкн. Круга L=0.

Теорема о циркуляции: циркуляция вектора вдоль замкнутого круга L=0

А₁₂=W_n(1)-W_n(2)=-[ W_n(2)-W_n(1)]

Потенциальная энергия – величина, численно равная работе, кот-ю совершают все действующие на систему потенц. cилы при переводе этой системы из рассматриваемого состояния в состояние соответствующее его нулевой конфигурации.

Элементарная работа A=-dW_n => что потенциальной энергией механич.систназ-ся величина, численно = работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные силы при переводе сист.из рассматриваемого состояния в состояние, соответствующее нулевой конфигурации.

Если рассматривать сист.из n материальных точек, то ее сист. кинетич.энергии W_k= (mv₁²+ _iw²)

Изменение кинетич.энергии при малом перемещении сист.=работе, совершенной этой системой.

dW_k= Для МТ

dW_k=

A_i= A_i^конс+ A_i^неконс

dW_k= +

A_i^неконс= A^неконс

A_i^конс= A^конс=-dW_n

З-н изменения энергии: dW_k=-dW_n+ A^неконс =>dW_k+dW_n= A^неконс

Изменение механич.энергии системы равно алгебраич. сумме работ всех неконс.сил, действующих на сист. Если сист. находится только в поле консервативных сил, то A^неконс =0 =>dW=0

З-н сохр.энергии: dW_k+dW_n=d(W_k+W_n)=0

W_k+W_n=const

Закон сохранения энергии:

Полная механическая энергия сист.мат.точек, находящаяся под действием только консервативных сил, остается постоянной.

 

Колебание – это движение или процесс, обладающий той или иной повторяемостью от времени.

В физике выделяют 3 вида колебаний:

1) механические (звук, вибрация);

2) электромагнитные (свет, радиоволны);

3) электромеханические (механические и электромагнитные вместе);

Различают также колебания:

Свободные – это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие): колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

Вынужденные – колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия (листья на деревьях, поднятие и опускание руки). При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.

Автоколебания – колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

Гармонические колебания – колебания, совершаемые (изменяемые) по закону синуса (кисинуса).

X=Asin( t+α)

X=Acos( t+α), где X – смещение, t+α – фаза, α – начальная фаза, A – амплитуда.

Период колебания Т – это время, за которое фаза получает приращение 2π.

[ (t+Т)+α] = t+α+2π

T=

v= = =-A

a= = = = -A cos(

 

 

12. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, математический и физический маятники

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса): , , где -смещение,А - амплитуда колебания,w₀ —круговая (циклическая) частота,j —начальная фаза колебания в мо­мент времени t=0, — фаза колебания в момент времени t.

Запишем вторую производную по времени от гармонически колеблющей­ся величины x: (2).

Если сопоставить уравнения (1) и (2), то можно записать дифференциальное уравнение гармонических колебаний .Решением этого уравнения является функция . Константы и определяются начальными условиями. Все уравнения типа решаются по одному и тому же закону - круговая частота. Если какая–то сила действует на на колеблющее тело, то , где - жесткость (волновое число). Следовательно, сила пропорциональна смещению со знаком «-». Силы такого типа называется квазиупругими.

Пружинный, физический и математический маятники

1. Пружинный маятник — это груз массой m, подвешенный на упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F= –kx, где k —жесткость пружины.

Wп

Wп

Wк

W

А

x

-А

Пружинка длиной . Если на кончик пружинки прикреплен шарик массой m, то пружинка растянется под действием силы тяжести . Возникает уравновешенная сила .(3) Сместим шарик еще ниже на x. Смещение станет .

На шарик действует сила . С учетом (3) получаем (квазиупругая сила).

Если сообщить маятнику смещение , то начнутся колебания пружины: по 2-му закону Ньютона . , где

2.

l

O

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести.

Если оттолкнуть нить, то возникнет вращающий момент: .

. Вращающий момент стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, вращающий момент носит характер квазеупругой силы. Тогда . Если -малый угол, то . Тогда, учитывая, что у нас вращательное движение, т.е. момент силы равен моменту энерции ускорения: . или , а , а так как

3. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

- вращающий момент, . Следовательно, вращающий момент стремится вернуть маятник в положение равновесия. Вращающий момент носит характер квазеупругой силы. Тогда , , , . (приведенная). , , где .