Арифметических действий

а+в=в+а ОС №13, 14 Легче…

При осложнении числа можно…

(а+в)+с=а+(в+с) ОС №14,15 2 правила: легче ед. к ед;

дес. к дес.

ав = ва ОС №16 Легче…

ОС №17 При умножении…

(а+в) ·с=ас+вс ОС №17,18

а(в+с)=ав+ас

(а+в):с=а:с+в:с ОС №17,19

Правила:

а:(вс)=(а:в):с=(а:с):в

(а+в)-с=а+(в-с)=(а-с)+в и др.

Правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий.

Каждый из рассматриваемых вопросов арифметической теории в начальном обучении имеет не самостоятельное, а служебное значение: используется для сознательного усвоения приёмов вычислений, для рационализации вычислений, для проверки правильности вычислений, при решении текстовых задач.

Например:

а) 64:2 64:3

б) 51:17 = ⁯

в) Проверь: 96:6 = 16

г) Расход Количество Общий расход

на 1 пл. пл.

│ закройщица ‌ 3м ? 15 м

‌‌‌‌‌║ ‌‌‌закройщица 3м ? 12м

От учащихся не следует требовать каких-либо отвлечённых формулировок свойств и правил. Их усвоение происходит в процессе применения.

Роль: вопросы арифметической теории дают обоснование используемых ВП и способов арифметической проверки.

Разрешают, подсказывают как можно вычислять, а не приказывают - нужно, надо только так и ни как иначе. Однако, обязательно нужно поступать только в соответствии с математическими законами.

На начальной ступени обучения вопросы арифметической теории применяются явно или неявно.

явно неявно

Неявно: не сообщается название (имя); не даётся формулировка, запись, но применяются на основе догадки, интуиции, предшествующего опыта и здравого смысла.

Например, в подготовительном классе так используется а+(в+с)=(а+в)+с

7+3=10

7+2+1=9+1=10

2. Уровни ознакомления младших школьников с вопросами арифметической теории

Знакомство младших школьников с вопросами арифметической теории может осуществляться на различных уровнях:

1. Интуитивный,

основанный на догадке, чутье, предшествующем опыте, здравом смысле.

Например: 7+3=

7+2+1= 10

2. Экспериментальный,

при помощи научного опыта и посредства индуктивных умозаключений.

Учителем готовится материал для наблюдения, испытаний, исследования.

Дети выполняют практические действия с ним, наблюдают, анализируют, «открывают».

Методы: неполный индуктивный вывод, моделирование.

3 Логический, т.е.

путём определений или доказательств.

Например: а·0=0 Определение и никаких объяснений.

Равенство 0·а=0 доказывается методом неполной индукции.

Следующие утверждения доказываются:

1·а=а а:а=1

а:1=а Докажите самостоятельно

Доказывается невозможность деления на 0.

4. Формальный (авторитарный),

Какой из этих уровней преобладает в начальной школе?

3. Неполный индуктивный вывод и моделирование как основные в НШ методы «открытия» общих закономерностей

Экспериментальный уровень основан на применении методов неполной индукции и моделирования.

Сущность данных индуктивных методов как способов ПМД в следующем:

1. Обеспечивается наглядная основа формируемого знания: создаётся модель (предметная, графическая, знаковая) для некоторого частного случая без особенностей, (например, 3+1, 3+3, 0+3 с особенностями); на этой модели устанавливается частный факт и высказывается соответствующие частное суждение.

2. На аналогичных моделях рассматриваются другие частные случаи из того же класса. Каждый раз высказывается то же самое суждение (ещё 1-2раза как минимум).

3. Формулируется догадка, гипотеза о том, что этот факт, эта закономерность имеет место всегда (возможно при выполнении определённых ограничений, например, для вычитания, деления).

4. Осуществляется проверка выдвинутой гипотезы, предположения в других частных случаях.

5. Формулируется правило, закон и т.п.

Т.о. «открытие» идёт по схеме:

С(а1),С(а2),С(а3),…,С(ак)

Ұ а € N C(а)

По индукции: от частного к общему.

Путь познания: наблюдение – анализ – сравнение – синтез - догадка - гипотеза - проверка гипотезы - индуктивное обобщение.

Система частных фактов, подбираемых для наблюдения, должна удовлетворять следующим требованиям:

1. Содержать достаточное (min2-3) число фактов для выделения общих существенных признаков.

2. Сохранять существенные признаки при вариативности несущественных.

Например:

1) а + в = в + а - моделирование с помощью абака; для тех же частных случаев - неполный индуктивный вывод.

Сравнить оба метода.

2) а: (вс) - моделирование путём разрезания полосок; фабричные таблицы.

Сравнить оба метода.

Моделирование и неполный индуктивный вывод относятся к классу индуктивных методов.

Отличительный признак моделирования – не связан с вычислительной деятельностью.

Особенности метода моделирования:

1) всё внимание и все интеллектуальные силы ученика направлены на осознание сущности, причины, способа получения новых знаний;

2) проверка выдвинутой гипотезы (догадки) возможна не только при непосредственном наблюдении частных фактов, но и при исследовании воображаемых моделей.

Всё это создаёт условия для более глубокой рефлексии выполненных на модели действий и их следствий, для появления внутреннего убеждения в истинности утверждения : открытие новых знаний осуществляется по существу, а не по форме, как с помощью неполной индукции.

Применение моделирования связано с поиском наиболее удачной модели, исследование которой приводило бы детей к математическим открытиям.

В качестве универсальной (её можно использовать при рассмотрении из теоретических вопросов) удобно использовать прямоугольник (полоску), разбитый на единичные квадраты.

« Язык» такой модели:

⁯ - число 1 - число 2 +