Комплексный чертёж точки. Эпюр Монжа

Проецирование точки

 

 

Выделим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П₁ и П₂, которые пересекаются по оси, называемой осью проекций или осью координат (рис. 10). Проводя из точки А перпендикулярно плоскостям прямые линии (проецирующие лучи) до их пересечения с плоскостями, определяем две ортогональные проекции точки А – А₁иА₂. Проецирующие прямые АА₁ и АА₂ определяют проецирующую плоскость, перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций х. Прямые А₁А_Х и А_ХА₂,являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций П₁ и П₂, будут перпендикулярны к оси проекций х.

Здесь, как и в случае центрального проецирования, одной точке пространства соответствуют две ее проекции. Аналогичным образом мы можем получить две проекции точек В,С или любой другой точки пространства.

Если положение плоскостей фиксировано, то каждой точке пространства соответствует упорядоченная пара точек на плоскостях проекций. Справедливо и обратное утверждение – упорядоченной паре точек на плоскостях проекций соответствует единственная точка пространства.

Эти утверждения являются фундаментальными и составляют основу построения проекционного чертежа.

Плоскости П₁и П₂при пересечении образуют четыре двугранных угла. Их называют квадрантами или четвертями пространства.

 

 

Рис. 10

 

На практике в ряде построений или при решении задач появляется необходимость вводить в систему плоскостей П₁и П₂ и другие плоскости проекций. Чертежи машин или их частей часто содержат больше двух изображений. Если ввести в систему двух плоскостей проекций П₁и П₂еще одну плоскость проекций, то имеет смысл расположить ее перпендикулярно двум существующим. На практике третью плоскость проекций располагают так, как показано на рис. 11, и обозначают П₃. Так же как и плоскости П₁и П₂, плоскость П₃расположена вертикально. При введении третьей плоскости проекций появляются еще две оси координат – одна вертикальная, другая горизонтальная, которые одновременно являются линиями пересечения трех плоскостей проекций. Принятые обозначения координатных осей: х – ось абсцисс; у – ось ординат; z – ось аппликат. Точка пересечения осей принимается за начало координат и обозначается буквой О.

Условно принята правая система расположения координатных осей. Ось х направлена от начала координат влево, ось у – вперед (к наблюдателю), ось z – вверх. Обратные направления осей считаются отрицательными. Такую систему осей координат и плоскостей проекций называют декартовой системой, по имени французского ученого Р. Декарта (1596–1650), предложившего прямоугольную систему координат для определения положений точек в пространстве. Координатные плоскости, или плоскости проекций, имеют следующие названия:

П₁ – горизонтальная плоскость проекций;

П₂ – фронтальная плоскость проекций;

П₃ – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций в своем пересечении образуют восемь трехгранных углов, разделяя пространство на восемь частей – восемь октантов. Расположение октантов и их номера показаны на рис. 12.

 

 

Рис. 11 Рис. 12

 

В настоящее время в технической практике получил широкое применение чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого предмета. Такой чертеж называют комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом.

Представим точку А в системе трех плоскостей (рис. 13). Проводя из точки А прямые линии, перпендикулярные плоскостям до их пересечения с этими плоскостями, определяем ортогональные проекции точки А. Проекции точки А на плоскостях называют соответственно горизонтальной А₁, фронтальной А₂ и профильной проекцией А₃ точки А. Точка в пространстве удалена от начала координат на расстояние от оси ее фронтальной, горизонтальной и профильной проекций.

Ввиду неудобства пользования пространственным макетом, на чертеже его разворачивают и представляют эпюром – чертежом, составленным из двух или трех связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры (рис. 14).

При преобразовании пространственного макета фронтальная проекция точки А – А₂ остается на месте, как принадлежащая плоскости p₂, которая не меняет своего положения. Профильная плоскость проекций вместе с проекцией А₃ развернется, и проекция А₃ расположится с фронтальной проекцией точки А на одном перпендикуляре к оси z. Горизонтальная проекция А₁ после разворота плоскости p₁ расположится с фронтальной проекцией точки А на одном перпендикуляре к оси х.

 

Рис. 13 Рис. 14

 

Развернутый пространственный макет называют эпюром Монжа. На чертеже контуры плоскостей проекций не показывают. Прямые, соединяющие разноименные проекции точки А, называют линиями связи. Две проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру – одной линии связи.

Связь между горизонтальной и профильной проекциями может быть определена с помощью двух отрезков ОА_Y и ОА_Y, которые равны, поскольку принадлежат одной и той же оси. Этой связью пользуются для того, чтобы найти недостающую горизонтальную или профильную проекции точки.

Ортогональный чертеж (эпюр) точки А является полным и метрически определенным. Как видно из эпюра, сочетание двух любых проекций точки дает значение всех трех координат:

 

А₁ (А_хА_y ),

А₂ (А_z А_х ),

А₃ (А_z А_y ).

 

Поэтому положение точки в пространстве вполне определяется положением двух ее ортогональных проекций. Как следствие, по двум заданным проекциям всегда можно построить недостающую третью.

Расстояния точки от плоскости проекций и от осей координат могут быть измерены непосредственно, как определенные отрезки на чертеже. Как видно из рис. 13, точка А располагается от горизонтальной проекции на расстоянии, равном отрезку А₁ А.Этот отрезокпроецируется на фронтальную и профильную проекции без искажения, следовательно, отрезки А_x А₂ и А_y А₃ равны отрезку А₁ А. Поэтому определить расстояния точки А от горизонтальной плоскости проекций на эпюре (см. рис. 14) можно, измерив отрезки А₂ А_x или А₃ А_y. Аналогичным образом можно определить по эпюру расстояния точки А и от двух других плоскостей проекций:

от фронтальной плоскости – А₂ А = А_x А₁ = А_z А₃

от профильной плоскости – А₃ А = А_z А₂ = А_y А₁

Чем длиннее будут эти отрезки, тем дальше от соответствующих плоскостей проекций будет расположена точка в пространстве, поэтому, зная эти закономерности, можно легко определять по эпюру положение любой точки пространства. Если на эпюре будут заданы две или более точек, то, сравнивая длину отрезков каждой точки, можно точно определить, как относительно плоскостей проекций или наблюдателя будут расположены эти точки в пространстве.

При переходе к эпюру утрачивается пространственная картина расположения плоскостей проекций и объектов, но эпюр обеспечивает точность при значительной простоте построений. Чтобы по нему представить пространственную картину объекта, требуется лишь работа воображения.