Метод проекций

 

Правила построения изображений основаны на методе проекций. В начертательной геометрии существует несколько методов, позволяющих использовать их для решения различных задач.

Проецирование предмета из данного центра называют центральным или коническим. Представим в пространстве некоторую плоскость П' и точки S и А, не лежащие в этой плоскости (см. рис. 1). Проведя через точки S и А прямую линию l и продлив ее до пересечения с плоскостью П' в точке A¢, получим центральную проекцию (отображение) точки А на плоскость П'. Плоскость П' называют плоскостью проекций, точку S – центром проециро­вания, точку A¢ – центральной проекцией точки А, прямую l – проецирующей прямой или проецирующим лучом. Аналогичным образом мы можем получить проекции любых других точек: В, С и т. д.

Из рис. 1 видно, что точка А может быть проекцией множества точек, лежащих на прямой l, поэтому одна проекция А' не дает возможности судить однозначно о положении точки A в пространстве. Это один из существенных недостатков центрального проецирования. Так, например, на рис. 2 четырехугольники АСВК и DHNP,различной формы и размеров, расположенные на разном расстоянии от плоскости проекций П, проецируются на плоскость проекций в одно изображение, по которому невозможно определить точную форму и размеры фигур, их взаимное положение и расположение относительно плоскости проекций.

Если поместить любую фигуру, плоскую или пространственную, между центром проецирования и плоскостью проекций по направлению проецирующих прямых, то ее изображение будет накладываться или совпадать с уже существующим изображением четырехугольников.

 

Рис. 1

 

Рис. 2

Если предположить, что пластины четырехугольников непрозрачны, то любая точка или линия, расположенная ниже четырехугольников на плоскости проекций будет не видна совсем.

Другим недостатком центрального проецирования является то, что вид и размеры проекций меняются в зависимости:

а) от направления проецирования по отношению к плоскости проекций;

б) расстояния от плоскости проекций до центра проецирования;

в) расположения предмета относительно плоскости проекций и центра проецирования.

Чем ближе предмет к плоскости проекций при фиксированном положении центра проецирования, тем больше изображение предмета на плоскости и наоборот. При удалении плоскости проецирования от предмета параллельно самой себе, размеры проекции предмета будут увеличиваться. При изменении направления проецирования проекция предмета изменяется по форме.

При центральном проецировании также не сохраняется параллельность прямых и отношение отрезков. На рис. 3 представлены плоские многоугольники, размеры и форма проекций которых получаются искаженными по отношению к истинной величине фигур. Даже если предположить, что четырехугольник DHNP является прямоугольником, по его проекции это определить невозможно. В данном случае также любой точке пространства соответствует только одна проекция.

 

Рис. 3

 

Поскольку для определения положения любой точки методом центрального проецирования необходимо иметь две ее проекции, то, при фиксированном положении точки и плоскости проекций в пространстве, вторая проекция точки получается при добавлении еще одного центра проецирования, т. е. как бы взгляда с другой стороны. Использование второго центра проецирования придает определенность чертежу, но искажение формы и размера предмета это все равно не исключает (рис. 4).

При построении чертежей следует учитывать не только обратимость чертежей, т. е. возможность однозначного определения всех геометрических свойств пространственного объекта по его плоскому отображению, но и простоту построения. Метод центрального проецирования не отвечает этим требованиям. Построение центральных проекций даже самых простых предметов процесс трудоемкий и требующий много времени.

В то же время большим достоинством центрального проецирования является его наглядность. Перспективные изображения очень близки нашим зрительным представлениям о предметах. Это объясняется устройством зрительного органа (глаза). Поэтому центральное проецирование используют в основном для построения перспективы различных зданий и сооружений, его применяют в архитектуре, иногда для выполнения наглядных изображений пространственных фигур. Аналогичный принцип используется для получения изображений в проекционной аппаратуре, фотоаппаратах и кинокамерах.

 

 

Рис. 4

По изображениям, полученным методом центрального проецирования, можно легко составить общее представление о форме фигуры и ее элементах, но однозначно определить все геометрические свойства по ним невозможно. Например, по изображениям на рис. 5 невозможно составить однозначное представление о форме сквозных вырезов в сфере и призме: на задних от наблюдателя сторонах фигур могут быть расположены элементы, невидимые на данных проекциях, и т. д.

Рис. 5

 

Если предметы собраны в группу, также невозможно составить по одной проекции полное представление об их взаимном расположении и взаимосвязях. Но самое главное заключается в том, что по таким изображениям совершенно невозможно определить истинные размеры этих фигур, т. е. их натуральную величину, а, следовательно, по этим изображениям их невозможно изготовить, если возникнет такая необходимость.

Поэтому для полного, точного и однозначного определения формы и размеров объекта по плоскому изображению применяются другие методы проецирования.

Частным случаем центрального проецирования является параллельное проецирование. Когда центр проекций удален в бесконечность, проецирующие лучи условно считают параллельными. Этот метод дает более простое изображение и в большей степени сохраняет геометрические свойства объекта при проецировании. Параллельное проецирование иногда называют цилиндрическим, поскольку множество проецирующих лучей могут представлять цилиндрическую поверхность, в отличие от центрального проецирования, при котором проецирующие лучи в совокупности могут представлять только коническую поверхность.

Указав направление проецирования S¥ (рис. 6), проекцию точки А можно получить, проведя проецирующую прямую l параллельно указанному направлению до пересечения с плоскостью проекций П'. Поскольку одна проекция А' не дает возможности судить о положении точки A в пространстве, для определения положения точки при параллельном проецировании необходимо провести через точку А еще одну прямую, до пересечения с плоскостью П', введя еще одно направление проецирования и получив при этом вторую проекцию точки – А'', которые в совокупности однозначно определяют положение точки А относительно плоскости проекций П'.

Таким же образом можно получить на плоскости проекцию любой пространственной формы, при этом процесс построения проекций упрощается по сравнению с методом центрального проецирования, а также исключаются некоторые недостатки этого метода.

Параллельную проекцию любой линии можно построить, проецируя ряд ее точек и проводя через эти проекции линию (рис. 7, а).

Параллельные проекции делятся на косоугольные (рис. 7, а) и прямоугольные проекции (рис. 7, б) в зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций. В первом случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол от 0 до 90°. Во втором случае проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, равный 90°, – этот метод проецирования называют параллельным прямоугольным. Слово «прямоугольный» часто заменяют словом «ортогональный», поэтому в литературе можно встретить следующие названия таких проекций: «ортогональные проекции»,«ортогональный метод параллельного проецирования» или просто «ортогональное проецирование».

 

 

Рис. 6

 

а б

Рис. 7

 

 

Ортогональное или прямоугольное параллельное проецированиенашло широкое применение в инженерной практике для изображения геометрических фигур на плоскости. Оно имеет преимущества перед другими способами проецирования:

а) простоту графических построений;

б) возможность сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры;

в) возможность наиболее легко судить о размерах изображаемых объектов.

Так как при ортогональном параллельном проецировании через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную к плоскости проекций, то очевидно, что для получения двух проекций одной точки необходимо иметь две плоскости проекций. На рис. 8 показано построение некоторой проекции точки А в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

Проведя перпендикуляры из точки А до пересечения с плоскостями проекций, получаем две проекции точки А1 и А2, которые полностью определяют положение точки в пространстве.

На рис. 9 представлен ортогональный чертеж пространственной модели в двух проекциях. Для более точного отображения модели ее располагают в пространстве так, чтобы основные измерения или плоские грани были параллельны плоскостям проекций. В этом случае они проецируются на плоскости проекций без искажения и в натуральную величину. Модель располагают между наблюдателем и плоскостью проекций, поэтому на плоскости получается такое изображение предмета, которое наблюдатель видит перед собой. Изображение поверхности предмета, обращенное к наблюдателю, в черчении называют видом.

Если какую-либо часть предмета по двум проекциям представить невозможно, вводят третью плоскость проекций, перпендикулярно одной из существующих, и т. д. Таким образом, получают столько изображений предмета, сколько необходимо для полного и однозначного определения всех геометрических свойств этого предмета.

Рис. 8 Рис. 9

 

Методом прямоугольного проецирования выполняются чертежи в машино- и приборостроении, изображения зданий и сооружений на планах и разрезах, топографические чертежи и карты земной поверхности. Практически этот метод проецирования является основным при создании технических чертежей в любых отраслях промышленности.

Прямоугольное параллельное проецирование используется во многих компьютерных графических программах (AutoCAD, SolidWorks, Компас График и др.), для создания изображений самых различных изделий, механизмов и машин.