Средняя квадратичная ошибка

Оценка точности результатов измерений

Оценить точность каких-либо измерений – это значит определить на основе полученных результатов сравнимые числовые (количественные) характеристики, выражающие качественную сторону самих измерений и условий их проведения. Количественные характеристики измерений или критерии оценки точности измерений устанавливаются теорией вероятности и теорией ошибок (в частности, способом наименьших квадратов). Согласно этим теориям оценка точности результатов измерений производится только по случайным ошибкам. Показателями точности измерений могут служить:

- средняя квадратическая ошибка измерений;

- относительная ошибка измерений;

- предельная ошибка измерений.

Понятие средней квадратичной ошибки введено Гауссом, и в настоящее время она принята в качестве основной характеристики точности измерений в геодезии.

Средней квадратичной ошибкой называется среднее квадратичное значение из суммы квадратов ошибок отдельных измерений. Для ее вычисления используют либо истинные ошибки измерений, либо уклонения результатов измерений от среднего арифметического.

Обозначим истинное значение измеряемой величины через X, результат измерения через l_i.

Истинными ошибками измерений Δ_i называются разности результатов измерений и истинных значений, т. е.

Δ_i = l_i – X.

В этом случае среднюю квадратичную ошибку m отдельного результата вычисляют по формуле

(11)

где n – количество равноточных измерений.

Однако в большинстве случаев практики, если не считать редких случаев специальных исследований, истинное значение измеряемой величины и, следовательно, истинные ошибки остаются неизвестными. В этих случаях для нахождения окончательного значения измеряемой величины и оценки точности результатов измерений используют принцип среднего арифметического.

Пусть l₁, l₂, .... l_n результаты n равноточных измерений одной и той же величины. Тогда частное

 

называется средним арифметическим из измеренных значений этой величины.

Разность каждого отдельного результата измерения и среднего арифметического значения называется уклонением результатов измерений от среднего арифметического и обозначается буквой v:

v_i = l_i – .

 

Пример. Отдельный угол измерен четырьмя приемами, и получены результаты:

l₁ = 74° 17'42"; l₂ = 74° 17'46"; l₃ = 74° 17'43"; l₄ = 74° 17'47".

Тогда среднее арифметическое значение угла будет = 74° 17'44",5, а уклонения результатов измерений от среднего арифметического соответственно будут v₁ = - 2",5; v₂= +1",5; v₃ = - 1",5 и v₄= +2",5.

Уклонения результатов измерений от среднего арифметического обладают двумя важными свойствами:

- для любого ряда равноточных измерений алгебраическая сумма уклонений равна нулю [v] =0;

- для любого ряда равноточных измерений сумма квадратов уклонений минимальна, т. е. меньше суммы квадратов уклонений отдельных измерений от любого другого значения, принятого, вместо среднего арифметического значения, [v²] = min.

Первое свойство уклонений служит надежным контролем вычисления среднего арифметического значения из результатов измерений. Второе свойство уклонений используют для оценки точности результатов измерений.

Если ошибки отдельных измерений вычисляют относительно среднего арифметического значения из результатов измерений, среднюю квадратичную ошибку отдельного результата вычисляют по формуле

. (12)

Пример. Используя данные предыдущего примера, найдем среднюю квадратичную ошибку измерения угла одним приемом:

 

.

При определении средних квадратичных ошибок измерений необходимо руководствоваться следующими правилами:

1) средняя квадратичная ошибка суммы или разности измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратичных ошибок слагаемых, т. е. для выражения А = а + b - с +...+ q средняя квадратичная ошибка будет равна

 

 

при равноточных измерениях, когда m_a = m_b = m_c = ... = m_q:

 

;

 

2) средняя квадратичная ошибка произведения измеренной величины на постоянное число равна произведению средней квадратичной ошибки этой величины на то же самое число, т. е. для выражения L = kl;

;

3) средняя квадратичная ошибка результатов равноточных измерений прямо пропорциональна средней квадратичной ошибке одного измерения m и обратно пропорциональна корню квадратному из числа измерений, т.е.

;

 

или с учетом формулы (12):

 

Примеры: 1. Угол β получен как разность двух направлений, определенных с ошибками m₁ = ± 3" и m₂ = ± 4".

По первому правилу находим .

2. Радиус окружности измерен со средней квадратичной ошибкой m_R = ±5 см.

По второму правилу находим среднюю квадратичную ошибку длины окружности

m₀ = 2πm_R = 2 × 3,14 × 5 = ± 31 см.

3. Средняя квадратичная ошибка измерения угла одним приемом равно m = ± 8". Какова точность измерения угла четырьмя приемами?

По третьему правилу

.

 

4. Угол β измерен пятью приемами. При этом отклонения от среднего арифметического составили: - 2", + 3",- 4", +4" и -1". Какова точность окончательного результата?

По третьему правилу