Основные геодезические задачи

Таблицы натуральных значений тригонометрических функций

В практике вычислительных работ часто приходится пользоваться значениями тригонометрических функций углов, величина которых выражается до секунды и даже до десятых и сотых долей секунды. С этой целью заранее рассчитываются и издаются специальные таблицы, в которых приводятся значения тригонометрических функций с определенной точностью практически для любой величины углов в пределах от 0^о до 90^о. Эти таблицы называются таблицами натуральных значений тригонометрических функций, которые в зависимости от количества десятичных знаков, указываемых в значениях функций, подразделяются на трех-, четырех-, пяти-, шести-, семи- и восьмизначные.

В геодезической практике чаще всего используют пяти-, шести-, семизначные таблицы и реже восьмизначные.

Построение (расположение, содержание) таблиц тригонометрических функций предусматривает возможность отыскания числового значения каждой функции по заданному углу и наоборот, – отыскания угла по известному числовому значению любой функции. Правила пользования таблицами зависят от особенностей их построения и приводятся обычно в предисловии к самим таблицам. Как правило, отыскание значения тригонометрических функций по заданному углу производят в следующем порядке:

- по заданному значению угла определяют, к какой четверти геодезического круга он принадлежит;

- по таблице 4 определяют знак искомой тригонометрической функции;

- значение искомой функции, пользуясь данными таблицы 5, приводят к функции острого угла (I четверти);

- по таблицам натуральных значений тригонометрических функций отыскивают страницу с соответствующим наименованием приведенной функции и значением градусов и минут острого угла (если наименование функции указано вверху страницы, минуты читают в левом столбце, если же наименование функции внизу страницы, минуты читают в правом столбце);

- выписывают числовое значение функции, соответствующее градусам, минутам и десяткам секунд;

- методом интерполяции находят поправку за изменение функции на единицы и доли секунд; знак поправки определяют в зависимости от порядка изменения функции (для sin, tg и sec поправки положительные, для cos, ctg и cosec – отрицательные).

Примечание. В большинстве случаев при нахождении величины поправки применяется простая линейная интерполяция. Для этого на каждой странице помещаются небольшие таблички пропорциональных частей с гото­выми поправками на весь интервал (шаг таблиц) интерполирования. При нахождении функций косеканса и котангенса малых углов менее трех градусов и функций секанса и тангенса углов, близких к 90^о, применяются специальные интерполяционные формулы, указываемые в предисловии таблиц.

Окончательный результат находят как алгебраическую сумму табличного значения функции и поправки.

Пример. Найти синус угла 121°43'15",7 по шестизначным таблицам.

Решение. Четверть II. Знак – плюс.

По таблице 5 Sin 121°43'15",7 = + Cos 31^o 43'15",7;

Сos 31°43'10" =+0,850633

поправка на 5",0 = – 13

поправка на 0",7 = – 2

+ 0,850618.

Контрольные вопросы и упражнения:

1. Дать определение тригонометрических функций острого угла Sin, Cos, tg, ctg, sec, cosec.

Начертить прямоугольный треугольник и показать отношение его сторон для угла А.

2. Пользуясь таблицей 4, найти знаки всех тригонометрических функций, если угол имеет величину 79 и 126°.

3. Пользуясь шестизначными таблицами тригонометрических функций, найти значения:

Sin 127°46'53"; Cos 306"15'47"; tg 216°21'53",2; ctg 279°16'21",6;

sec 300°14'36",7; cosec 96°29'42",9.

В практике геодезических вычислений наиболее часто встречается решение трех основных задач:

- прямая геодезическая задача;

- обратная геодезическая задача;

- решение треугольника по измеренным углам и сторонам.

В зависимости от поставленных условий и требований основные геодезические задачи могут решаться на поверхности сферы или эллипсоида и на плоскости. В данном разделе рассматриваются способы решения основных геодезических задач на плоскости.