Аналитические условия равновесия произвольной системы сил

(шесть уравнений статики абсолютно твердого тела)

Пусть на твердое тело, находящееся в равновесии, действует система сил (рис. 28).

Выберем произвольную систему координат и обозначим проекции сил на оси координат:

, , .

Главный вектор этой системы сил:

.

Его проекции на оси координат:

,

,

.

Главный момент вычислим относительно полюса, находящегося в начале координат:

.

Главный момент относительно полюса в начале координат проектируем на каждую из осей координат:

.

На основании теоремы о связи между моментами силы относительно полюса и оси:

,

,

.

По основной теореме статики для равновесия тела под действием произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю главный вектор и главный момент относительно произвольного полюса, то есть

, (I) , (II)

Векторное равенство (I) эквивалентно трем скалярным:

1. ,

2. ,

3. .

Векторное равенство (II) так же эквивалентно трем скалярным:

4. ,

5. ,

6. .

На основании полученного результата основная теорема статики может быть сформулирована так:

Для того, чтобы твердое тело под действием произвольной системы сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат и сумма моментов всех сил относительно каждой из осей координат равнялась нулю, то есть чтобы выполнялись шесть уравнений статики:

1. , 4. ,

2. , 5. ,

3. , 6. .