Метод симметрии

При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Докажем, что для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для доказательства выберем начало координат в плоскости симметрии тела и одну из осей координат, ось О: направим перпендикулярно плоскости симметрии, а две других оси расположатся в плоскости симметрии (рис. 33). Каждая частица массой находясь по одну сторону плоскости симметрии, имеет симметричную частицу такой же массы но другую сторону этой плоскости. Координаты X₁, Y₁ у симметричных частиц одинаковы при сделанном выборе осей координат, а координаты

 

по оси Оz отличаются только знаком. Для координаты центра масс Z_c имеем следующее выражение:

Разбивая сумму в числителе на две по симметричным частям тела, получаем, что

так как симметричные части тела 1 и 2 одинаковы.

Таким образом, центр масс расположен в плоскости симметрии и для его определения достаточно вычислить только две его координаты Х_c и Y_с в этой плоскости.

Аналогично доказывается, что для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр масс находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.