Построение планов скоростей и ускорений

Лекция № 3

 

Планом скоростей (ускорений) называют рисунок, на котором в масштабе изображены векторы, равные по модулю и направлению скоростям (ускорениям) различных точек механизма в данный момент времени.

Планы скоростей и ускорений строятся по векторным уравнениям, которые составляются отдельно для каждой группы Ассура в порядке присоединения их к ведущему звену и к другим звеньям механизма.

Построение планов скоростей и ускорений рассмотрим на примере шарнирного четырехзвенника (рис.1, а).

 

Рис. 1. Построение планов скоростей и ускорений для шарнирного четырехзвенного механизма

 

Известными являются:

а) размеры звеньев , , ;

б) положение механизма;

в) закон движения ведущего звена .

Построение планов ведется в порядке построения механизма.

Для ведущего звена определяем величину скорости в точке :

_. (3.1)

Вектор перпендикулярен радиусу, т.е. отрезку , и направлен в сторону, определяемую направлением _.

Задаемся масштабом плана скоростей и вычисляем отрезок , изображающий в выбранном масштабе вектор ,

.

Из произвольной точки , называемой полюсом плана скоростей, откладываем в указанном направлении отрезок (рис. 1, б).

Составим векторные уравнения для группы Ассура . Точка принадлежит звеньям и , поэтому

, (3.2)

.(3.3)

В нашем случае уравнение (3.2) превращается в тождество, т.к. скорость точки равна нулю, поэтому обходимся одним уравнением (3.2).

Скорость точки известна по направлению: так как точка движется по окружности радиусом , то она перпендикулярна радиусу –, величина ее нам неизвестна. Скорость точки относительно точки также известна по направлению – . Величина ее нам неизвестна.

Решая векторное уравнение графическим способом, получим план скоростей, т.к. векторное уравнение эквивалентно двум скалярным уравнениям.

В соответствии с векторным уравнением (3.2) через конец вектора (точку ) проводим направление вектора , а через полюс – направление вектора . Пересечение этих направлений (точка ) определяет отрезки ] и , изображающие в выбранном масштабе скорости соответственно и . Величины этих скоростей равны:

;

.

Пользуясь построенным планом скоростей, можно определить угловые скорости звеньев и :

;

.

Для определения направления переносим вектор в точку механизма и рассматриваем движение этой точки относительно точки по направлению скорости . Из рисунка видно, что направлена против часовой стрелки.

Аналогично определяем направление угловой скорости . Перенеся вектор в точку, видно, что направлена по часовой стрелке.

Построим план ускорений. Ускорение точки состоит только из нормального ускорения, т.к. звено движется равномерно и оно равно

= = (3.4)

Вектор направлен по радиусу к центру – от точки к точке .

Задаемся масштабом плана ускорений и вычисляем длину отрезка , изображающего вектор в этом масштабе.

.

Из произвольной точки , называемой полюсом плана ускорений, в направлении вектора откладываем отрезок (рис.,).

Переходим к группе Ассура .

Векторные уравнения для точки группы имеют вид:

= + , (3.5)

= + . (3.6)

Так как точка неподвижна, то ее ускорение равно нулю и уравнение (3.6) превращается в тождество. Поэтому можно ограничиться только уравнением (3.5).

Ускорения и слагаются из нормальных и касательных составляющих:

= + , (3.7)

= + (3.8)

Подставляя значения и в уравнение (3.5), получим

+ = + + (3.9)

В уравнении (3.9) три вектора известны полностью – и по величине и по направлению, а два – только по направлению:

ускорение по величине равно

= ¤ , (3.10)

вектор направлен вдоль звена от точки к точке – оси вращения звена;

вектор направлен перпендикулярно звену ;

ускорение известно полностью;

ускорение по величине равно

= / ,(3.11)

направлен вектор вдоль звена АВ от точки к точке ;

вектор направлен перпендикулярно звену .

Построим план ускорений. Согласно правой части уравнения (3.9), из конца вектора , (отрезка ) откладываем в масштабе в указанном выше направлении вектор , представляемый отрезком , который вычисляется по формуле

= / .

Из конца вектора (точки ) проводим направление вектора ().

Согласно левой части уравнения (3.9) из полюса плана ускорений откладываем в указанном ранее направлении вектор , изображаемый отрезком , который вычисляется по формуле

= / m_а .

Из конца вектора (точки) проводим направление вектора (^ ). Пересечение направлений и (точка ) дает решение векторного уравнения: отрезок изображает вектор , а отрезок - вектор . Величины этих ускорений равны:

= ×m_а; = × m_а.

Складывая векторы и , т.е. соединяя точку с точкой , получим отрезок , который изображает вектор полного ускорения точки - .

Складывая векторы и , т.е. соединяя точки и , получим отрезок, который изображает вектор ускорения точки - .

Величины этих ускорений равны:

= × m_а; = × m_а.

Определяем угловые ускорения звеньев и :

e₂ = / ; e₃ = / .(3.12)

Для определения направления этих ускорений переносим векторы и в точку механизма. Рассматривая движение точки относительно точки в направлении ускорения , устанавливаем, что e₂ направлено против часовой стрелки. Рассматривая движение точки относительно точки в направлении , устанавливаем, что e₃ также направлено против часовой стрелки.

Векторы абсолютных скоростей и ускорений точек всегда направлены от полюса к данным точкам.

Векторы относительных скоростей и ускорений каких – либо точек всегда соединяют концы векторов соответствующих абсолютных скоростей и ускорений и также направлены к данной точке.