Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси.

Рис.41

Рис.40

Рис.39

Пусть на это тело действует сила,приложенная в точке А. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную оси z, и разложим силу на составляющие: , параллельную осиz, и , лежа­щую в плоскости ху (является одновременно проекцией силы на плоскости ху). Сила , на­правленная параллельно оси z, очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стре­мится сдвинуть тело вдоль оси z). Весь вращательный эффект, создаваемый силой, будет совпадать с вращательным эффек­том ее составляющей . Отсюда заключаем, что , где символ ) обозначает момент силы относительно оси z.

Для силы же , лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси z, вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки О, в которой ось z пересекается с пло­скостью xу. Следовательно, или, согласно преды­дущему равенству, .

В результате приходим к следующему определению: моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент будем считать положительным, если с положительного конца оси z поворот, который сила , стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

Из чертежа (рис.40) видно, что при вычислении момента плоскость ху можно проводить через любую точку оcи z. Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 40) надо:

1) провести плоскость ху, перпендикулярную к оси z (в любом месте);

2) спроектировать силу на эту плоскость и вычислить вели­чину ;

3) опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на направ­ление и найти его длину h;

4) вычислить произведение ;

5) определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как ).

2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент отно­сительно оси также равен нулю (так как h = 0).

Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы от­носительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

3) Если сила перпенди­кулярна к оси, то ее момент относительно оси равен про­изведению модуля силы на расстояние между силой и осью.

Рис. 3.4.

Пример 4.Определим моменты сил и относительно осей (рис.41).

 

Моменты силы находятся просто:

;

;

.

Моменты сил и - по­сложнее.

В тех случаях, когда век­тор силы направлен под углом к осям, полезно разложить вектор силы на составляющие парал­лельные осям и, затем, находить сумму моментов этих состав­ляющих.

Так моменты силы :

;

;

.

И силы :

;

;

(линия действия силы пересекает ось z).

 

Пусть на тело действует приложен­ная в точке А сила (рис. 42). Проведем какую-нибудь ось z и возьмем на ней произвольную точку О. Момент силы относи­тельно центра О будет изображаться вектором перпендикуляр­ным плоскости ОАВ, причем по мо­дулю.