Скорость и ускорение точки в полярных координатах
Лекция 3
Краткое содержание: Скорость и ускорение точки в полярных координатах.
Рассмотрим движение точки в плоскости. В этом случае движение можно задать в полярных координатах. Для этого примем какую-либо точку О плоскости за полюс и проведем из нее полярную ось, например ось Ox. Положение движущейся точки М на плоскости известно, если заданы радиус r и полярный угол j как функции времени, т.е.
и 
. (3-1)
Эти уравнения называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Если из уравнений (3-1) исключить параметр - время t, то получим уравнение траектории в полярных координатах: 
.
Введем единичный вектор 
, направленный по радиус-вектору от полюса О к точке М. Тогда 
.
Для скорости 
получаем выра-жение
Производная от единичного вектора по времени равна 
(без доказательства)
- единичный вектор,направление которого получается поворотом вектора на 900 в положительном направлении угла j .
После этого для скорости получаем выражение 
Это разложение скорости точки на радиальную 
и трансверсальную (поперечную) 
составляющие, т.е.
- радиальная скорость; 
- трансверсальная скорость.
Модуль скорости равен 
.
Определим ускорение точки 
После дифференцирования получаем 
Получили разложение ускорения точки на радиальную 
и трансверсальную (поперечную) 
составляющие, т.е.
- радиальная скорость;
- трансверсальная скорость.
Модуль ускорения равен 
.
Частные случаи:
1. Если 
, то имеем прямолинейное движение по прямой Or .
В этом случае 
и
2. Если 
, то имеем движение по окружности .
В этом случае 
и
- угловая скорость вращения радиус-вектора, 
- его угловое ускорение.