Геометрические понятия

Лекция 2

Краткое содержание: Геометрические понятия: кривизна кривой, радиус кривизны, оси естественного трехгранника. Дифференцирование единичного вектора. Ускорение точки при различных способах задания движения. Частные случаи движения точки.

 

В точке М кривой линии проведем касательную Мt. В точке М₁ построим касательную М₁t_. Между точками М и М₁ расстояние Ds.

В общем случае пространственной кривой касательные Мt и М₁t_ будут скрещиваться. Проводим в точке М прямую линию Мt₂ параллельную М₁t_. Угол Dj между линиями Мt и Мt₂ называется углом смежности.

Кривизной кривой k в точке М называется предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния Ds, при Ds , стремящемся к нулю, т.е.

 

Рис. 2-1

(2-1)

Радиусом кривизны кривой r в точке М называется величина, обратная кривизне кривой в этой точке, т.е.

(2-2)

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиуса R. Дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол j, выражается зависимостью

 

Рис. 2-2

Через пересекающиеся прямые Мt и Мt₂ проводим плоскость. Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точек М и М₁ называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке М.

В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.