Некоторые частные случаи движения точки.

Рис.6

.

Рис.5

Было показано, что ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости ; следовательно, проекция вектора на бинормаль равна нулю ( ).

Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в моментвремени t точка находится в положении М и имеет скоростьv, a в момент приходит в положение М₁ и имеет скорость v₁.

Тогда по определению

 

Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси , проведенные в точке М (рис.5). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим:

.

 

Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку М₁ оси параллельные и обозначим угол между направлением вектора и касательной через . Этот угол между касательными к кривой в точках М и М₁ называется углом смежности.

Напомним, что предел отношения угла смежности к длине дуги определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны в точке М. Таким образом,

.

Обращаясь теперь к чертежу (рис.6), находим, что проекции векторов и на оси будут равны:

,

 

где v и v₁ - численные величины скорости точки в моменты t и t₁.

Следовательно,

.

Заметим что при точка М₁ неограниченно приближается к М и одновременно .

Тогда, учитывая, что в пределе , получим для выражение

.

 

Правую часть выражения а_n преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на . Тогда будем иметь

,

так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при равны:

Окончательно получаем:

.

Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на каса­тельную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинор­маль равна нулю (а_b=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинема­тики точки.

 

Отложим вдоль касатель­ной и главной нормали М_n векторы и , чис­ленно равные и a_n (рис. 6). Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая бу­дет всегда направлена в сторону вогнутости кривой (величина a„ всегда положительна), а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси в зависимости от знака проек­ции (см. рис. 6, а и б).

Вектор ускорения точки изображается диагональю параллело­грамма, построенного на составляющих и . Так как эти состав­ляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю:

.

Пользуясь полученными результатами, рассмотрим некоторые частные случаи движения точки.

1) Прямолинейное движение. Если траекторией точки является прямая линия, то . Тогда и все уско­рение точки равно одному только касательному ускорению:

.

Так как в данном случае скорость изменяется только численно, то отсюда заключаем, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по численной величине.

2) Равномерное криволинейное движение. Равно­мерным называется такое криволинейное движение точки, в котором численная величина скорости все время остается постоянной:

v = const. Тогда и все ускорение точки равно одному только нормальному:

.

Вектор ускорения направлен при этом все время по нормали к траектории точки.

Так как в данном случае ускорение появляется только за счет изменения направления скорости, то отсюда заключаем, что нормаль­ное ускорение характеризует изменение скорости по направ­лению. Найдем закон равномерного криволинейного движения.

Из формулы имеем .

Пусть в начальный момент (t=0) точка находится от начала отсчета на расстоянии s₀. Тогда, беря от левой и правой части равенства определенные интегралы в соответствующих пределах, получим

или ,

так как v=const. Окончательно находим закон равномерного криволинейного движения в виде

.

Если s₀=0, то s даст путь, пройденный точкой за время t. Следовательно, при равномерном движении путь, пройденный точкой, расчет пропорционального времени, а скорость движения равна отношению пути ко времени

.

3) Равномерное прямолинейное движение. В этом случае , а значит и а=0. Заметим, что единственным движением, в котором ускорение точки все время равно нулю, является равномерное прямолинейное движение.

4) Равнопеременное криволинейное движение. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной: . Найдем закон этого движения, считая, что при t=0: s=s₀, а v=v₀, где v₀ - начальная скорость точки. Согласно формуле имеем .

Так как , то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим:

.

Формулу представим в виде

или .

Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде

.

Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает - замедленным.