Определение ускорений точек плоской фигуры
Рис.40
Рис.39
Рис.38
Свойства плана скоростей.
а) Стороны треугольников на плане скоростей перпендикулярны соответствующим прямым на плоскости тела.
Действительно, . Но на плане скоростей . Значит причём перпендикулярна АВ, поэтому и . Точно так же и .
б) Стороны плана скоростей пропорциональны соответствующим отрезкам прямых на плоскости тела.
Так как , то отсюда и следует, что стороны плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела.
Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительно её на 90˚ по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.
Пример 10. На рисунке 39 в масштабе изображён механизм. Известна угловая скорость звена ОА.
Чтобы построить план скоростей должна быть известна скорость какой-нибудь одной точки и хотя бы направление вектора скорости другой. В нашем примере можно определить скорость точки А: и направление её вектора .
Откладываем (рис. 40) из точки о в масштабе Известно направление вектора скорости ползуна В – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I по направлению скорости , на которой должна находиться точка b, определяющая скорость этой точки В. Так как стороны плана скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям механизма, то из точки а проводим прямую перпендикулярно АВ до пересечения с прямой I. Точка пересечения определит точку b, а значит и скорость точки В: . По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньям механизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить аb пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости (если с соединить с точкой О).
Скорость точки Е равна нулю, поэтому точка е на плане скоростей совпадает с точкой О.
Далее. Должно быть и . Проводим эти прямые, находим их точку пересечения d. Отрезок оd определит вектор скорости .
Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оxy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором где . Тогда
.
В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение , которое точка м получает при вращении фигуры вокруг полюса A. следовательно,
.
Значение , как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как
где и - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а - угол между вектором и отрезком МА (рис.41).
Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23).
Однако вычисление с помощью параллелограмма, изображенного на рис.23, усложняет расчет, так как предварительно надо будет находить значение угла , а затем - угла между векторами и , Поэтому при решении задач удобнее вектор заменять его касательной и нормальной составляющими и представить в виде