Лекция 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений.

Рис.27

Рис.26

Рис.25

Рис.24

Рис.23

Рис.22

Рис.21

Рис.20

Когда углы Эйлера равны нулю, подвижные оси совпадают с неподвижными. Чтобы определить положение тела, соответствующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачиваем на угол вокруг оси . При этом оси и отойдут от осей и в горизонтальной плоскости и ось займёт положение (рис.20). Затем тело вращаем вокруг нового положения оси (прямой ) на угол . Ось отойдёт от оси на этот угол , а ось приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси на угол . Ось отойдёт от положения в наклонной плоскости, перпендикулярной оси . Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не показано).

Линия пересечения неподвижной плоскости и подвижной , прямая , называется линией узлов. Угол называется углом прецессии, угол – углом нутации, угол – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменяются по определённым законам которые называются уравнениями вращения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.21). Ось волчка описывает конус вокруг неподвижной оси . Это вращение определяется углом (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации .

А вращение волчка вокруг своей оси , определяемое углом – собственное вращение.

2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.

Проведём в теле сферическую поверхность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке (рис.22).

Покажем у тела какие-нибудь две точки и , расположенные на этой сфере. Соединим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое положение. Точки, а значит и дуга, займут положение и . Соединим точки и и дугами большого радиуса и . Посередине этих дуг проведём им перпендикулярные дуги и найдём их точку пересечения . Соединим эту точку с точками . Получим два сферических треугольника и , расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (, а и – как дуги равноудалённые от перпендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину , то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой .

Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку .Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера.

Конечно, такое перемещение не является истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положения в другое каким-то другим, наверное более сложным путём. Но, если время такого перехода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при можно предположить, что для данного момента времени тело поворачивается вокруг некоторой оси Р, проходящей через неподвижную точку , вращаясь вокруг неё с угловой скоростью . Конечно, для каждого другого момента времени эта ось расположена иначе. Поэтому осьназывают мгновенной осью вращения,а угловую скорость – мгновенной угловой скоростью, вектор которой направлен по оси.

3) Скорость точек тела.

По теореме Даламбера-Эйлера за малое время движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси с некоторой угловой скоростью (рис.23).

Тогда скорость точки : В пределе, при , угловая скорость будет приближаться к мгновенной угловой скорости , направленной по мгновенной оси вращения , а скорость точки - к истинному значению:

Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор , в нашем случае – по мгновенной оси вращения . Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси . Величина скорости (рис.23).

Определение скоростей точек тела значительно упрощается, если известна мгновенная ось вращения . Иногда её можно найти, если удастся обнаружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме , скорость которой в данный момент равна нулю, и провести осьиз неподвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое место точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.

Пример 6. Водило , вращаясь вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , заставляет диск радиуса кататься по горизонтальной плоскости (рис.24).

Если представить диск как основание конуса с вершиной в неподвижной точке , то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки .

Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращенияпроходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости будет направлен по этой оси.

Точка вместе с водилом вращается вокруг оси . Поэтому её скорость (рис.24). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси и направление вектора . Величина угловой скорости (h – расстояние от до оси ). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси . Так, например, скорость точки : . Так как и , то и

4) Ускорение точек тела.

Сначала определим угловое ускорение тела . При движении тела вектор угловой скорости изменяется и по величине, и по направлению. Точка расположенная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью (рис.25).

Если рассматривать вектор как радиус-вектор этой точки, то .

Итак. Угловое ускорение тела можно определить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости:

Этот результат называется теоремой Резаля.

Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки тела

есть сумма двух векторов.

Первый вектор . Модуль его , где h₁ – расстояние от точки до вектора . Направлен он перпендикулярно и . Но таким же способом определяется касательное ускорение. Поэтому первую составляющую ускорения определяют как касательное ускорение, предполагая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с вектором . И обозначается этот вектор ускорения так

Второй вектор Модуль его , но , т.к. векторы и перпендикулярны друг другу.

Значит , где h₂ – расстояние от точки М до мгновенной оси , до вектора .

Направлен вектор перпендикулярно и , т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси , или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

Этот результат называется теоремой Ривальса.

Заметим, что в общем случае векторы и не совпадают и угол между и не равен , векторы не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.

Пример 7. Продолжим исследование движения диска (пример 6). Модуль угловой скорости Значит вектор вместе с осью , которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси и описывает конус. Точка М на конце вектора движется по окружности радиуса с угловой скоростью . Поэтому угловое ускорение диска .