Вектор скорости точки
Рис.4
Рис.3
Рис.1
При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента :
.
Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.
Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.
2. Координатный способ задания движения точки.
Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.1), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости
, , .
Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.
Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр .
Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.
Разложим вектор на составляющие по осям координат:
где - проекции вектора на оси; – единичные векторы направленные по осям, орты осей.
Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому
Пример 1.Движение точки задано уравнениями
Чтобы исключить время, параметр t, найдём из первого уравнения из второго Затем возведём в квадрат и сложим. Так как получим Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.2).
Начальное положение точки M0 (при t=0) определяется координатами
Рис.2Через 1 сек. точка будет в положении M1 с координатами
Примечание.
Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.
3. Естественный способ задания движения точки.
Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.3) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси).
Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s, которая равна расстоянию от точки О' до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M1, М2,... . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.
Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость
.
Уравнение выражает закон движения точки М вдоль траектории.
Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону (рис. 4).
В начале движения, при Положение точки M0 называется начальным положением. При
Конечно, за 1 сек. точка прошла расстояние M0M1=2 см. Так что s – это не путь пройденный точкой, а расстояние от начала отсчёта до точки.
Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки.
Известно, что при движении точки по прямой линии с постоянной скоростью, равномерно, скорость её определяется делением пройденного расстояния s на время: . При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится