Вычислим базис основной системы координат

Дополнение 2 к главе 1

§7. Кинематические характеристики точки
в сферических координатах.

 

Как показано в §5,формулы связи декартовых и сферических координат имеют вид:

 

,

,

,

 

.

 

Полагаем

 

.

 

 

 

, .

 

Коэффициенты Ламе будут выражаться через криволинейные координаты по формулам:

 

;;

.

А тогда

 

,

 

,

 

 

2.Легко показать, что

, , ,

 

т.е. сферическая система координат — ортогональная.

 

3.Вычислим скорость в проекциях на орты , т.е. вычислим ковариантные координаты скорости .

Поскольку сферическая система координат ортогональная, то

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Из этих соотношений легко находятся направляющие косинусы в системе :

 

 

,

 

,

 

.

 

4.Вычислим ускорение в проекциях на орты , используя формулу Лагранжа.

Для этого построим :

 

.

 

Тогда

, .

Отсюда, применяя формулу Лагранжа, находим

 

. (1.7.1)

 

Аналогично для получаем

 

, ,

 

(1.7.2)

 

В свою очередь для будем иметь

 

, ,

 

(1.7.3)

5. Подстановкой (1.7.1), (1.7.2), (1.7.3) в формулу можем выписать выражение для модуля ускорения .

 

6. Подстановка в соотношения

 

,

 

,

 

 

дает зависимости направляющих косинусов вектора в системе от криволинейных координат , обобщенных скоростей и обобщенных ускорений .