Дополнение 1 к главе 1

§6. Кинематические характеристики точки
в цилиндрических координатах.

 

Определим кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.

Как показано в §5, связь цилиндрических и декартовых координат задается формулами

 

, , , . (1.6.1)

 

Полагаем

, , .

 

1. Вычислим базис криволинейных координат в произвольной точке

, .

 

Для этого находим коэффициенты Ламе:

 

.

 

Подставляя формулы (1.6.1) для :

 

, , , , (1.6.1)

 

и вычисляя производные по , получим

.

Аналогично вычисляются , :

, .

А тогда легко находим базисные векторы:

 

,

 

,

 

.

()

 

()

()

Рис. 1.6.1.

Направления векторов показаны на рис.1.6.1.

 

2.Непосредственным вычислением и для легко показать, что векторы образуют ортонормированный базис, т.е. цилиндрическая система координат — это ортогональная криволинейная система координат.

 

3. Вычислим скорость в проекциях на орты .

 

Поскольку цилиндрическая система координат ортогональная, то

 

, , .

 

А тогда, поскольку , получаем

 

,

,

,

 

,

 

.

 

Из последней формулы легко находятся направляющие косинусы в декартовой системе координат

 

,

 

,

 

.

 

4. Вычислим ускорение в проекциях на орты .

Применим формулу Лагранжа.

 

Для этого определим функцию :

 

.

 

Отсюда находим

 

, .

 

Согласно формуле Лагранжа имеем

 

.

 

Следовательно,

 

.

 

Проведя аналогичные расчеты для координат и , получим:

 

· для координаты

 

, ,

 

,

или

 

,

 

· для координаты

 

, ,

 

или

.

 

Тогда для будем иметь

 

.

 

Направляющие косинусы в системе будут выражаться по формулам:

,

 

,

 

.

 

Формулы для направляющих косинусов вектора и вектора получены проектированием на орты векторов

;

 

.