Теорема Лагранжа
Ковариантные координаты ускорения точки
Построим формулу Лагранжа для вычисления ковариантных координат , , ускорения .
Согласно определению ковариантных координат можем записать
, .
Подставим в правую часть этого равенства значение орта , вычисленное в точке ,
.
Вынесем за знак скалярного произведения.
В результате придем к следующему выражению для :
.
В нем, в соответствии с определением понятия ускорения точки, производная вычисляется вдоль движения
, , .
Поэтому в множителе производная по времени строится от суперпозиции функций и .
А потому, согласно свойству б) функции из леммы Лагранжа, множитель можно заменить производной .
Кроме того, по свойству а) из той же леммы, множитель можно заменить производной .
А тогда выражение для примет вид
. (1.5.39)
Введем функцию
,
где задается формулой (1.5.32):
. (1.5.32)
Будем иметь
, .
Подставляя в (1.5.39)
, (1.5.39)
окончательно найдем
, . (1.5.40)
Эта формуланазывается формулой Лагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения точки.
Таким образом, доказали следующую теорему.
Ковариантные координаты вектора ускорения материальной точки выражаются по формуле(1.5.40).
Если криволинейные координаты ортогональны, то , .
В таком случае формула (1.5.39) позволяет вычислить контравариантные координаты вектора .