Понятие обобщенной скорости точки

Утверждение.

Результатом такого построения будет союзная система, совпадающая с изначально заданной основной системой.

 

Коротко это утверждение формулируется так:

«Союзная система к союзной совпадает с основной».

Утверждение будет доказано, если покажем, что

,

,

,

где .

Докажем, например, справедливость первой формулы (остальные — доказываются аналогично).

 

 

Выше было установлено (см. (1.5.19)):

 

. (1.5.19)

 

Кроме того, из (1.5.18) (свойство 2):

 

(1.5.18)

имеем

 

.

 

Поэтому для вектора можем записать

 

,

что и требовалось доказать.

 

Из доказанных свойств, в частности, вытекает, что если основной базис является ортонормированным ортогональным базисом, то союзная система координат совпадает с основной.

В таком случае ковариантные координаты вектора (величины ) совпадают с соответствующими контравариантными координатами (величинами ).

Ниже в Дополнении 1.1 к §5 даются пояснения смысла терминов «контравариантные» и «ковариантные» координаты.

 

8º. Скорость точки в криволинейной системе координат. Лемма Лагранжа

Пусть задано движение точки в криволинейных координатах

, .