Замечание

Задание движения точки в полярных координатах

 

При описании кругового движения точки использовалось представление этого движения через закон изменения угла и закон изменения (точнее сказать, закон сохранения неизменным) расстояния от точки отсчета до геометрической точки , с которой в момент времени по положению совпадает материальная точка.

 

Иначе говоря, при описании движения точки использовались две переменные: и .

 

Такие переменные и , как правило, наиболее часто применяются для описания плоского движения материальной точки. Их называют координатами точки в полярной системе координат.

1º. Понятие полярной системы координат

 

Полярная система координат задается следующим образом (см. рис.1.4.1):

 

· фиксируем в плоскости движения точку отсчета и ось , проходящую через точку отсчета;

· задаем положительное направление отсчета расстояний от точки вдоль этой оси; это направление совпадает с направлением орта .

Положительная полуось называется полярной осью.

 

Пусть в некоторый момент времени материальная точка занимает на плоскости положение , где .

Будем определять это положение расстоянием от точки до точки и углом , который образует вектор с полярной осью.

Угол отсчитываем от полярной оси до вектора .

Положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки, если смотреть с конца орта , выбранного для ориентации данной плоскости и ортогонального ей.

 

Построенная таким образом система координат называется полярной системой, а координаты и называются полярными координатами точки.

 

 

 

 

 

 

полярная ось

 

 

Рис.1.4.1

Введем декартовую прямоугольную систему координат , в которой (см. рис.1.4.1):

 

— точка отсчета совпадает с полюсом
полярной системы;

 

— совпадает с полярной осью;

 

— ортогональна плоскости движения, и орт
является ее базисным вектором,
определяющим ориентацию плоскости ;

 

— дополняет систему до правой.

 

Тогда связь декартовых и полярных координат точки задается очевидным соотношением

 

, , . (1.4.1)

 

Здесь ,,— декартовые координаты точки ; и — ее полярные координаты, причем и изменяются в пределах и .

 

Из (1.4.1) вытекает, что и однозначно определяют координаты и точки в плоскости .

 

Из них легко получить обратную зависимость, т.е. зависимость полярных координат и точки от ее декартовых координат и ,

 

, . (1.4.2)

 

Второе равенство в (1.4.2) справедливо только при .

 

Если , , то из первого равенства в (1.4.1) получаем . А тогда с учетом второго равенства в (1.4.1) будем иметь:

 

· если , то ;

 

· если , то .

 

Если и , то , и угол может принимать любые значения.

 

Таким образом, если , то по координатам точки однозначно определяются ее полярные координаты и :

 

, ,

 

где функция называется функцией аргумент.

 

Она имеет следующую аналитическую структуру:

 

Функция не определена в точке и однозначна во всех остальных точках плоскости .

2º. Задание движения в полярных координатах

 

Задать движение в полярных координатах — это значит:

· задать закон изменения координат и по времени

 

, (1.4.3)

 

в вектор-функции .

 

Вектор-функция устанавливает связь положения точки с ее полярными координатами и .

Эта связь в векторной форме имеет вид

 

.

 

Введем орты и , вычисляемые через полярные координаты точки .

 

Положим, по определению,

 

,

(1.4.4)

,

где

.

Очевидно:

 

— это орт радиус-вектора точки ,

— орт, показывающий направление

возрастания угла .

 

Иначе,

– это орт касательной к окружности радиуса

с центром в точке (орт касательной в точке ).

 

Орты и взаимно ортогональны.

 

Векторы и называются базисом полярной системы координат.

Используя закон движения (1.4.3)

 

, (1.4.3)

 

и первое соотношение в (1.4.4)

 

,

(1.4.4)

,

получим

 

. (1.4.5)

 

Формула (1.4.5) — это векторный способ задания движения через полярные координаты.

 

В ней

 

.

 

3º. Скорость точки в полярных координатах

 

Дифференцируя (1.4.5), получим

 

. (1.4.6)

 

Формула (1.4.6) дает разложение вектора скорости по базису полярной системы координат.

Отсюда следует, что

 

, , ,

и — полярные координаты скорости.

 

Вектор называется радиальной скоростью, а — трансверсальной скоростью точки.

 

Учитывая ортогональность ортов и , из (1.4.6) находим выражение для модуля скорости :

 

.

 

4º. Ускорение точки в полярных координатах.

 

Дифференцируя (1.4.6) по времени , получим

 

, (1.4.7)

где

 

, .

 

Вектор называется радиальным ускорением точки, а вектор — трансверсальным ускорением точки.

Из (1.4.6) и (1.4.7) легко получить формулы для скорости и ускорения в круговом движении с учетом того, что на таком движении выполняются тождества .

§5. Задание движения материальной точки
в криволинейных координатах

1º. Понятие криволинейных (обобщенных)
координат точки