Кинематические характеристики механического движения.

Физика и техника.

Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь имеет двусторонний характер.

Физика выросла из потребностей техники. Так, развитие механики у древних греков было вызвано запросами строительной и военной техники того времени.

Развитие техники, в свою очередь, определяет направление физических исследований. Например, в свое время задача создания наиболее экономичных тепловых двигателей вызвала бурное развитие термодинамики. А началось все с того, что Джеймс Уатт заметил, что крышка кипящего чайника немного приподнимается под действием пара.

С другой стороны, от развития физики зависит технический уровень производства.

Физика лежит в основе создания новых отраслей техники (электронная техника, ядерная техника и др.).

Бурный темп развития физики, растущие связи ее с техникой указывают на значительную роль курса физики во втузе.

Физика является фундаментальной основой для теоретической подготовки инженера, без которой его успешная практическая деятельность невозможна.

 

Развитие механики как науки начинается с III в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед (287—212 до н. э.) сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564—1642) и окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643—1727).

Механическим движением называется изменение положения тела относительно других тел с течением времени.

Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого в данных условиях можно пренебречь.

Положение материальной точки указывается при помощи радиус-вектора , соединяющего начало системы координат с данной точкой:

, (1.1)

где — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей координат: OX, OY, OZ. Значения координат данной материальной точки определяют проекции радиус-вектора на оси координат.

Модуль радиус-вектора вычисляется по формуле:

. (1.2)

Единичным вектором в направлении вектора называется вектор вида

. (1.3)

Если положение точки в пространстве изменяется, то радиус-вектор зависит от времени:

. (1.4)

Это векторная форма кинематического закона движения точки.

Конец радиус-вектора при движении точки описывает в пространстве кривую, называемую траекторией движения точки. Зависимость (1.4) эквивалентна системе уравнений:

(1.5)

Зависимость вида (1.5) называется координатной формой кинематического закона движения точки.

Расстояние между двумя положениями 1 и 2 материальной точки в пространстве определяется по формуле:

, (1.6)

где , , — разности координат материальной точки, отсчитанные вдоль осей OX, OY и OZ. Вектор, соединяющий точки 1 и 2, называется вектором перемещения. Он равен разности радиус-векторов точек 2 и 1:

. (1.7)

Действительно, из рисунка 1.1 видно, что вектор равен геометрической сумме векторов и : . Из последнего уравнения и следует выражение (1.7).

С другой стороны вектор перемещения может быть представлен через разности координат:

. (1.8)

Поэтому модуль вектора перемещения из точки 1 в точку 2 определяется по формуле (1.6).

Изменение положения материальной точки с течением времени характеризуется вектором мгновенной скорости, который определяется как производная от радиус-вектора материальной точки по времени[1]:

(1.9)

 

Вектор мгновенной скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Его можно представить в виде:

, (1.10)

где проекции , и вектора мгновенной скорости на соответствующие оси координат вычисляются по формулам:

. (1.11)

С другой стороны, радиус-вектор материальной точки можно представить в виде:

,

где — единичный вектор, совпадающий по направлению с радиус-вектором точки. Тогда, в соответствии с формулой (1.9), вектор мгновенной скорости точки равен:

.

Первая составляющая: — направлена вдоль радиус-вектора и характеризует быстроту изменения его модуля.

Вторая составляющая: — связана с быстротой изменения направления радиус-вектора. Дело в том, что единичный вектор по величине не может изменяться и единственным способом его изменения является вращение вокруг некоторой оси. Поэтому производная от единичного вектора по времени равна произведению угловой скорости вращения радиус-вектора на перпендикулярный к нему единичный вектор , направленный в сторону возрастания угла :

.

В целях наглядности, рассмотренные кинематические характеристики , и , возникающие, например, при движении материальной точки в плоскости x, y по некоторой криволинейной траектории, представлены на рисунке 1.2.

Модуль вектора мгновенной скорости определяется следующим образом:

. (1.12)

Направление вектора мгновенной скорости определяется при помощи направляющих косинусов:

. (1.13)

Средняя скорость перемещения материальной точки за время от до определяется по формуле:

, (1.14)

где — вектор перемещения точки за то же время.

Из предыдущей формулы следует, что перемещение можно выразить через среднюю скорость перемещения:

. (1.15)

Путь определяют как длину дуги между точками 1 и 2. При смещении материальной точки вдоль траектории на бесконечно малую величину, ее путь можно записать следующим образом:

.

Проинтегрировав полученное выражение по времени от до , найдем, что:

, (1.16)

где — производная от по , — производная от по , и — значения координаты в моменты времени и , соответственно. Зависимость называют естественной формой кинематического закона движения точки.

Изменение вектора скорости с течением времени характеризуется вектором мгновенногоускорения, который определяется как производная от вектора скорости по времени:

. (1.17)

Вектор ускорения материальной точки можно представить в виде:

, (1.18)

где , и — проекции вектора ускорения на соответствующие оси координат.

Модуль вектора ускорения вычисляется следующим образом:

. (1.19)

Направляющие косинусы вектора ускорения равны

. (1.20)

Ускорение характеризует изменение величины и направления скорости в целом. Оно может быть представлено в виде векторной (геометрической) суммы тангенциального и нормального ускорений:

. (1.21)

Модуль ускорения выражается через модули тангенциального и нормального ускорений при помощи теоремы Пифагора:

. (1.22)