Равновесие при наличии трения.

Сила трения скольжения. Как показывает опыт, при стремлении двигать одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения этих тел возникает сила трения, которая может принимать любые значения от нуля до некоторого предельного значения, определяемого законом Кулона Fтр = f N, где f - безразмерный коэффициент трения скольжения, N - нормальная реакция. Коэффициент трения скольжения определяется опытным путем и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния их поверхностей (характер обработки, смазки, температуры и т.п.). Опыты показывают, что сила трения скольжения в широких пределах не зависит от размеров трущихся поверхностей тел. Так для того, чтобы сдвинуть обычный кирпич, нужно приложить одинаковую силу независимо от того лежит ли он плашмя или на ребре. При решении задач с учетом сил трения скольжения необходимо четко различать обычное и предельное равновесие тела. В первом случае величина силы трения неизвестна и должна определяться из решения соответствующих уравнений равновесия. Если же в задаче речь идет о предельном равновесии, то сила трения определяется законом Кулона:

(1.28)

 

Простейший пример: пусть на тело, находящееся в равновесии на горизонтальной шероховатой поверхности, действует сила F=10 H. Определить, чему равна сила трения скольжения.

Решение: в данном случае тело заведомо находится в равновесии и сила трения определится из уравнения равновесия:

откуда Fтр=Fcos30º = 8,66H.

Изменим теперь условие задачи: определим минимальную силу F, способную сдвинуть тело с места, если его вес P равен 10 Н, а коэффициент трения скольжения f =0,1.

Решение: так как речь идет о предельном состоянии равновесия,

Fтр= f N, N= P, Fтр= fP = 1H ,

F= f P/cos30º=1,15H.

Как известно полную реакция шероховатой поверхности принято представлять суммой двух составляющих: нормальной реакции Т и силы трения Атр (рис. 1. 38)

Рис. 1.38. Реакция шероховатой поверхности

Следовательно, полная реакция К будет отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы трения от нуля до ее предельного значения, сила К изменяется от Т до своего максимального значения, а ее угол с нормалью растет от нуля до некоторого предельного значения фн , называемого углом трения. Из рисунка видно, что tg фн=Fтр / N, тогда с учетом того, что Fтр=f N , получаем tg фн= f .

Если к телу приложить силу З под углом а к нормали (рис.1.34), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Pcosа будет больше Fтр=f N. Это означает , что никакой силой, образующей с нормалью угол а < фн, тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя.

Пример 1 . Каков должен быть минимальный коэффициент трения скольжения f в месте контакта однородной квадратной пластины весом Р с вертикальной стенкой, если пластина в заданном положении находится в равновесии. Весом стержня BF пренебречь.

Решение. Так как линия действия полной реакции К вертикальной стенки при равновесии пластины должна пройти через точку В ( на основании теоремы о трех силах), то Fтр=N или, поскольку речь в условие задачи идет о предельном равновесии, Fтр= fN, fN = N, f =1.

Тот же результат можно получить и из уравнения равновесия пластины:

Трение качение.Трением качения называют сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Причины возникновения этого сопротивления невозможно объяснить без учета деформаций тел, возникающих при их взаимодействии. Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиусом R весом З, лежащей на горизонтальной шероховатой плоскости, которая под тяжестью катка слегка деформировалась, так что касание катка с поверхностью теперь происходит не в одной точке, а по некоторой площадке АВ (рис.1.39). Под действием силы Й, приложенной к центру катка, давление у края А убывает и возрастает у края В. В результате нормальная реакция Т

 

Рис.1.39 Момент сопротивления при качении

являющаяся равнодействующей распределенных на площадке АВ сил, смещается в сторону действия силы Й. С увеличением Q до некоторого предельного значения Qпр это смещение растет до некоторой предельной величины fk. В этот момент на каток будут действовать две уравновешивающие друг друга пары сил (Йпр, Атр) и (Т, З) с моментами Mвр = QпрR и MЪ= Nf$ соответственно. Пока Q < Qпр каток будет находиться в покое, при Q > Qпр начнется качение. Входящая в формулу Мс =Nfk (1.29)

линейная величина fk называется коэффициентом трения качения. Для большинства материалов, входящее в выражение для предельного значения Q:

Qпр=(fk/R)N (1.30)

отношение fk/R значительно меньше коэффициента трения скольжения f из формулы (1.28). Этим объясняется то, что в технике, везде где это возможно, стремятся заменить скольжение качением.

Пример 2. На какой высоте h и какую горизонтальную силу F нужно приложить, чтобы каток, сила тяжести которого G=1000 H, равномерно скользи по горизонтальной плоскости без качения. Коэффициент трения качения fk = 0,01м, коэффициент трения скольжения f = 0,1 .

Решение. Для того чтобы каток двигался равномерно вправо, сила F должна быть равна максимальному значению силы трения скольжения:

F = Fтр= f N =100 H. Каток не будет вращаться, если момент, создаваемый парой сил (А, Атр) не будет превышать максимального значения момента сопротивления

Мс= fk N= kG =10 Нм, т.е. максимальное значение h = Mc /F = 0,1м .