Способы определения положения центров тяжести

Вернемся к вопросу о сложении параллельных сил, рассмотренному в пятой лекции. Там было показано, что система двух параллельных и одинаково направленных сил А! и А@ имеют равнодействующую К=А!+А@, линия действия которой проходит через точку С, определяемую соотношением (1.5):

Очевидно, что если повернуть силы А! и А@ на один и тот же угол а в одну и ту же сторону, то на этот же угол повернется и их равнодействующая, причем ее линия действия будет проходить через ту же точку С , так как в определяющее положение точки С выражение (1.5) входят только модули сил F₁ и F₂ .

Рассмотрим теперь систему параллельных и одинаково направленных сил (А!, А@,А#,...,А%), приложенных в точках A₁(x₁,y₁,z₁), A₂(x₂,y₂,z₂),. . ., A_n(x_n,y_n,z_n) твердого тела (рис.1.34). Эта система сил имеет равнодействующую К=СА$, а ее линия действия проходит через точку С_n-1, положение которой найдем, определяя последовательно положения точек С₁, С_2,...,С_n-1 с помощью выражений

, записанных для k=1,2,3, . , n -1 (1.18)

Так как в равенства (1.18) входят только модули рассматриваемых сил, положение точки С_n-1 относительно точек А₁, А₂, А₃, . . . , А_n не изменится при любых одинаковых изменениях ориентации сил системы.

Определение: точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил на один и тот же угол в одну и ту же сторону, называется центром параллельных сил.

Найдем координаты этого центра в произвольной декартовой системе координат. Воспользуемся тем, что его положение не зависит от направления сил и направим все силы системы параллельно оси z (рис.1.34). Тогда по теореме Вариньона . Учитывая, что

, получаем .

Применяя теорему Вариньона относительно оси x и относительно оси z (в последнем случае направив все силы параллельно оси y) получаем аналогичные формулы для :

. ( 1.19)

Полученные формулы используем для определения положения центров тяжести тел, находящихся в однородном гравитационном поле земного тяготения. Действительно, силы тяжести отдельных частиц тела, размеры которого малы по сравнению с радиусом Земли, образуют систему параллельных сил, аналогичную рассмотренной выше. Назовем равнодействующую сил тяжести отдельных частиц тела весом этого тела и будем обозначать его буквой З. Центром тяжести будем называть центр параллельных сил тяжести отдельных частиц тела и обозначать его буквой Р. В новых обозначениях формулы (1.19) перепишутся в виде:

(1.20)

Для однородных тел вес p_k отдельных частиц тела пропорционален объемам этих частиц : p_k=g v_k, а вес тела пропорционален объему тела P=g V (g - вес единицы объема). Подставляя данные выражения в (1.20), после сокращения на g , получаем формулы для определения центра тяжести объема:

(1.21)

Для однородных плоских пластин и изделий из однородных линейных элементов (например, из однородной проволоки постоянного сечения), вводя вес единицы площади и вес единицы длины, аналогичных образом получаем формулы для определения центра тяжести площади и центра тяжести линии:

(1.22)

где S - площадь всей пластины, s_k - площади ее частей.

(1.23)

где L - длина всей линии, l_k - длина ее частей.

3. Способы определения положения центров тяжести.

а) Способ симметрии. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, ось симметрии или центр симметрии, то его центр тяжести находится соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

б) Способ разбиения. Если тело можно разбить на конечное число частей, для которых положения центров тяжести известны, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам (1.21) - (1.23).

Пример 1. Найти координаты центра тяжести тела, имеющего вид стула, состоящего из стержней одинаковой длины и веса. Длина стержня равна l = 44 см.