Теорема о параллельном переносе силы.

Пара сил и ее момент.

Сложение параллельных сил.

Вопросы

1. Рассмотрим вопрос о сложении двух параллельных и направленных в одну сторону сил (рис. 1.26)

Рис. 1.26. Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону

Пусть на твердое тело в точках А и В действуют параллельные силы и (рис. 1.26). Приложим в этих точках уравновешенную систему двух равных по величине сил и и направленных вдоль АВ в противоположные стороны. Заменим системы сил , и , их равнодействующими и . Затем перенесем и вдоль их линий действий в точку D и заменим их одной силой К, являющейся равнодействующей сил А! и А@:

.

Найдем линию действия силы . Из подобия треугольников ACD и BMN следует

, .

Учитывая, что F₃ = F₄ , получаем

или . (1.5)

Таким образом, система двух параллельных и одинаково направленных сил имеет равнодействующую, равную сумме этих сил и направленную в ту же сторону.

Согласно (1.5), линия действия равнодействующей делит отрезок АВ на части, обратно пропорциональные величинам сил и .

Аналогичным образом рассматривается случай сложения двух параллельных не равных по величине и противоположно направленных сил. Ниже приводятся без доказательства лишь результаты такого сложения.

Рис. 1.27. Сложение двух параллельных и противоположно направленных сил

Изображенная на рис 1.27 система сил имеет равнодействующую , которая равна разности сил и направлена в сторону большей по величине силы. Ее линия действия делит отрезок АВ на части обратно пропорциональные силам F₁ и F₂ внешним образом (точка С лежит за большей по величине силой F₂): , . (1.6)

Еще раз обращаем внимание на то, что в рассматриваемом случае

2. Пара сил и ее момент

Займемся не рассмотренным в предыдущем пункте случаем, когда складываются две равные, параллельные, не лежащие на одной прямой и противоположно направленные.

Если использовать формулу (1.6) для вычисления равнодействующей такой системы сил, то мы получим , что казалось бы, должно означать уравновешенность данной системы сил. Вместе с тем, очевидно, что под действием такой системы сил тело начнет вращаться. Остается признать, что такая система является исключением среди систем двух параллельных сил и не имеет равнодействующей. Именно поэтому ее рассматривают как самостоятельный силовой фактор и называют парой сил.

Так как вращательный эффект сил характеризуется их моментом, вычислим момент пары сил относительно произвольного центра О, как сумму моментов отдельных сил пары (рис. 1.28)

Рис. 1.28. К определению момента пары сил

(1.7)

Данный результат означает, что момент пары сил не зависит от выбора точки О и равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы, т.е.

. (1.8)

Модуль момента пары сил равен m = F r sinj = F h, где h - расстояние между линиями действия сил пары, называемое плечом пары. Вектор направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.

Из принятого определения момента пары, как суммы моментов отдельных сил пары относительно произвольного центра (1.7) и независимости момента пары сил от выбора центра О (1.8), следует:

a) две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны (т.е. оказывают на тело одинаковое механическое действие). Это означает, что две пары сил, независимо от их расположения в данной ( или в параллельной) плоскости, независимо от того, чему равны в отдельности модули их сил и плечи, будут эквивалентны, если будут равны их моменты;

б) момент пары является свободным вектором (т.е. его можно считать приложенным в любой точке тела).

Примеры эквивалентных по действию на тело пар сил (рис. 1.29):

Рис. 1.29. Примеры эквивалентных по действию пар сил

в) если на тело действуют несколько пар сил, то сумма моментов всех сил, образующих эти пары, относительно любого центра будет равна геометрической сумме моментов отдельных пар сил и, следовательно, вся совокупность этих пар будет эквивалентна одной паре с моментом , (1.9)

где - моменты отдельных пар сил.

Рис. 1.22. Векторный многоугольник моментов пар сил

3.Теорема о параллельном переносе силы

Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, параллельно перенести в любую другую точку тела, добавив при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно ее новой точки приложения.Докажем эту теорему.

Пусть в точке А приложена сила, которую мы хотим перенести в точку В. Приложим в точке В уравновешенную систему двух сил, равных по величине переносимой силе, как показано на рисунке. Заменив образовавшуюся при этом пару сил (которую называют присоединенной) ее моментом и перенеся данный момент, как свободный вектор, в точку В, получаем формулируемое в теореме утверждение.

Рис. 1.24. Эквивалентные преобразование при параллельном переносе силы