Лекция 15

Рис. 2.31. Определение ускорений с помощью М.Ц.У.

Рис. 2.24. Определение положения фигуры S в плоскости x0y

 

Таким образом, для определения положение плоской фигуры S (а, следовательно, и всего объемного тела) в любой момент времени необходимо знать зависимости:

 

, , . (2.40)

 

Уравнения (2.40) называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. Произвольная точка А, выбранная для определения положения плоской фигуры, называется полюсом.

Первые два из уравнений (2.40) определяют поступательное движение фигуры S, при котором все ее точки движутся так же как полюс А (см. свойства поступательного движения). Очевидно, что вид этих уравнений будут зависеть от выбора полюса. Вид третьего уравнения, описывающего вращательную часть движения плоской фигуры S, а также ее угловая скорость w и угловое ускорение e , от выбора полюса не зависят.

Как и при вращательном движении, угловую скорость и угловое ускорение можно рассматривать как псевдовекторы и , направленные вдоль подвижной оси вращения, проходящей через полюс А, перпендикулярно плоскости движения.

 

2.Скорости точек при плоском движении

Для определения скоростей при плоскопараллельном движении используются: формула распределения скоростей, теорема о проекциях и понятие мгновенного центра скоростей (МЦС).

а) Формула распределения скоростей

 

Рис. 2.25. К выводу формулы распределения скоростей

 

Из рис. 2.25 видно, что положение произвольной точки В плоской фигуры S в каждый момент времени определяется следующим векторным равенством:

Продифференцируем данное выражение по времени

,

согласно формуле Эйлера (2.38)

,

Обозначая получаем формулу распределение скоростей:

, , ^ AB. (2.41)

Согласно (41), скорость произвольной точки В плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости вращения точки В вокруг полюса - .

 

б) Теорема о проекциях: при любом движении твердого тела проекции скоростей любых двух его точек на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой(рис. 2.26).

 

Рис. 2.26. К теореме о проекциях

 

Спроецируем на ось x, проходящую через точки А и В формулу (2.41). Так как ^ AB, получаем

,

что и требовалось доказать.

 

в) Использование понятия мгновенного центра скоростей.

Определение: мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. МЦС принято обозначать буквой Р.

 

Покажем, что если плоская фигура не движется поступательно, то такая точка существует в каждый момент времени. Для этого восстановим перпендикуляры к скоростям двух произвольных точек А и В и найдем точку их пересечения (рис. 2.27).

 

 

Рис. 2.28. Основной случай определения положения М.Ц.С.

 

Покажем, что скорость точки Рравна нулю и, следовательно, эта точка по определению является мгновенным центром скоростей. Согласно (2.41) имеем

 

, .

 

Поскольку векторы и перпендикулярны отрезкам АР и ВР по построению, а векторы и перпендикулярны этим отрезкам по определению, вектор должен быть одновременно перпендикулярен обоим отрезкам, что невозможно, если только он не равен нулю.

Если теперь взять за полюс точку Р, то для точек А и В формула (2.41) запишется в виде:

 

, .

 

Учитывая, что , получаем: , или

. (2.42)

Из (2.42) следует, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей и движение плоской фигуры можно рассматривать как вращение вокруг меняющего свое положение мгновенного центра скоростей. Мгновенную угловую скорость этого вращения можно найти, поделив скорость любой точки на ее расстояние от мгновенного центра скоростей. Кроме основного случая нахождения положения МЦС, рассмотренного выше, при решении задач встречаются следующие варианты:

 

 

 

 

Рис. 2.28. Частные случаи определения положения МЦС

 

3.Ускорения точек в плоском движении. Формула распределения ускорений.

Для вывода данной формулы распределения ускорений запишем выражение (2.41) в виде:

 

и, продифференцировав его по времени, получим:

 

.

Учитывая, что , а по формуле Эйлера , имеем:

 

 

Введем следующие обозначения:

 

, .

 

Векторы и называют вращательным и центростремительным ускорением точки Bв ее относительном вращении вокруг полюса A.

По определению векторного произведения вектор перпендикулярен отрезку АВ, лежит в плоскости движения, а его модуль равен , так как rBA = AB . По формуле для двойного векторного произведения

 

,

получаем ,

поскольку. Таким образом, вектор направлен вдоль отрезка АВ от точки В к точке А (см. рис. 2.29), а его модуль равен .

 

Рис. 2.29. Иллюстрация формулы распределения ускорений

 

Окончательно формулу распределения ускорений можно записать в виде:

 

, (2.43)

 

в которой , .

 

Формулу (2.43) иногда используют в виде (2.43*)

 

где вектор направлен под углом к отрезку АВ и равен по модулю .

Пример 1. Найти ускорение точки В, угловое ускорение шатуна АВ и угловое ускорение кривошипа ВС четырехзвенного механизма в положении, указанном на рис. 2.29. Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью w0 = 5 c-1 , длина шатуна АВ равна 0,8 м.

 

Рис. 2.29. Пример использования формулы распределения ускорений

 

Решение. Определим скорость и ускорение точки А, которую затем выберем в качестве полюса:

 

VA = w0 OA = 2 м/с, WA = w20 OA = 10 м/сек2.

 

Так как М.Ц.С. звена АВ находится в бесконечности (Мщ параллелен Мш), wAB = 0. Ускорение точки В, как точки, принадлежащей звену АВ, по формуле распределения ускорений равно:

 

, так как .

 

С другой стороны, ускорение точки В , как точки принадлежащей звену ВС и вращающейся вокруг точки С, можно представить в виде сумму ее касательного и нормального ускорений:

, где , .

Приравнивая правые части выражений для , получаем:

 

. (*)

 

Проектируя (*) на направления отрезков ВС и АВ имеем :

,

откуда , ,

, .

.

 

4. Мгновенный центр ускорений (М.Ц.У)

 

Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. М.Ц.У принято обозначать буквой Q.

Покажем, что если плоская фигура (рис. 2.30) не движется поступательно, то такая точка существует в каждый момент времени и ее положение легко определить (зная ускорение какой-либо точки и величины w и e ) следующим образом:

из выражения определим угол g ;

 

Рис. 2.30. К определению положения мгновенного центра ускорений

 

от точки А под углом g к вектору проведем отрезок AQ. При этом отрезок AQ должен быть отклонен от вектора ускорения в сторону направления углового ускорения e . Длина отрезка AQ определяется равенством:

 

. (2.44)

 

Найденная таким образом точка Q и будет являться мгновенным центром ускорений. Действительно, по формуле распределения ускорений, имеем

 

, где .

Подставляя сюда AQ из (2.44), находим, что WQA = WA . Кроме того, вектор должен образовывать с линией AQ угол g и, следовательно, вектор параллелен , но направлен в противоположную сторону. Поэтому

и . Если теперь за полюс выбрать точку Q, то ускорение произвольной точки М, согласно (2.43) будет равно:

, ,

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в каждый данный момент времени так, как если бы движение плоской фигуры было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q(рис. 2.31). При этом ускорения точек плоской фигуры будут пропорциональны их расстояниям от М.Ц.У.

 

.

 

 

 

 

Пример 2. Равносторонний треугольник АВС движется в плоскости чертежа. Ускорения вершин А и В равны в данный момент времени 16 см/с2 и направлены по сторонам треугольника. Определить ускорение третьей вершины С треугольника.

Решение. Определим ускорение точки С используя понятие мгновенного центра ускорений. Для определения его положения необходимо знать угол между вектором Цщш и отрезком АВ. (см. рис 2.30). Очевидно, что в нашем случае этот угол равен 30º. Положение мгновенного центра ускорений Q определим как точку пересечения двух прямых, проведенных под углом g к векторам Цш и Цщ. Так как расстояния вершин треугольника от точки Q одинаковы, ЦЪ=16 см/с2 . Направление этого вектора показано на рисунке.