Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Мгновенный центр скоростей. Центроиды

Докажем теорему о существовании мгновенного центра скоростей: если угловая скорость плоской фигуры отлична от нуля, то мгновенный центр скоростей существует.

Пусть скорость произвольной точки плоской фигуры отлична от нуля (в противном случае точка А была бы мгновенным центром скоростей).

Рис. 5.6.

По знаку угловой скорости определяем направление вращения плоской фигуры вокруг точки А и в этом направлении откладываем от точки А отрезок перпендикулярно скорости (рис. 5.6). В соответствии с формулой (5.5) имеем

.

Так как скорость перпендикулярна АР, то вектор параллелен . Кроме того, в соответствии с правилом построения отрезка АР векторы и имеют противоположные направления. Модуль скорости равен

.

Два вектора, равных по величине и противоположно направленных, в сумме равны нулю. Следовательно,

,

т.е. скорость точки Р равна нулю.

Рис. 5.7.

Выберем теперь за полюс точку Р. Тогда скорость произвольной точки А плоской фигуры найдется по формуле (рис. 5.7) , (5.6) т.к. . Отсюда следует, что скорости точек тела при его плоском движении распределяются точно так же,

как и при вращательном движении. Роль неподвижной оси играет мгновенная ось, проходящая через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения. Таким образом, скорости всех точек фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей , а модули скоростей пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей .

Зная положение мгновенного центра скоростей, можно найти скорости всех точек плоской фигуры, если известна скорость какой-либо ее точки.

В самом деле, пусть известна, например, скорость точки А; тогда из равенства найдем и скорость любой точки В будет . Соединив конец вектора с точкой Р, получим эпюру распределения скоростей вдоль отрезка РВ (см. рис. 5.7).

Используя основные свойства мгновенного центра скоростей, можно определить его положение и в других случаях. На рис. 5.8 а показано, как находится эта точка, когда известны направления скоростей двух точек. Из точек А и В восставлены перпендикуляры к и . Точка Р находится на их пересечении. Если скорости точек А и В параллельны и , то для определения мгновенного центра скоростей следует воспользоваться свойством пропорциональности модулей скоростей расстояниям точек до мгновенного центра скоростей. На рис. 5.8 б и в показано, как находится мгновенный центр в этих случаях.

Рис. 5.8.

На рис. 5.8 г показан случай, когда и параллельны, но не перпендикулярна отрезку АВ. Очевидно, что в этом случае прямые; перпендикулярные и , пересекаются в бесконечности и мгновенного центра скоростей не существует. В самом деле, на основании теоремы о проекциях скоростей имеем . Отсюда и . Из формулы (5.5) следует, что при этом , т.е. угловая скорость фигуры равна нулю . Значит, в данный момент времени скорости всех точек плоской фигуры равны по модулю и направлению и, следовательно, точки, линейная скорость которой равна нулю, не существует.

При качении без скольжения одного тела по поверхности другого (рис. 5.8 д) мгновенный центр скоростей совпадает с точкой соприкосновения тел (так как при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю).

Использование мгновенного центра скоростей очень часто упрощает решение задачи.

В отличие от чисто вращательного движения, при плоском движении мгновенный центр скоростей меняет, вообще говоря, свое положение на плоскости. Если наклеить на фигуру, совершающую плоское движение, лист бумаги и в каждый момент времени прокалывать иглой мгновенный центр скоростей, то получатся две серии отметок: одна на неподвижной плоскости, другая на листе, связанном с фигурой.