Скорость точки

Способы задания движения

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

 

Движение точки по отношению к избранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. Существуют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

3.1.1. Векторный способ. Положение точки М, движущейся по отношению к системе отсчета Oxyz, можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку М, т.е. (рис. 3.1).

При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться по модулю и по направлению, т.е. он будет вектор-функцией, зависящей от аргумента : . (3.1) Уравнение (3.1) определяет закон движения материальной точки в векторной форме. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно Рис. 3.1.

данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией точки является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая – криволинейным.

При векторном способе задания движения траектория точки представляет собой годограф радиуса-вектора .

Введением радиуса-вектора, определяющего положение точки, мы не связываем себя с конкретной системой координат, что позволяет широко использовать задание радиуса-вектора как функции времени для получения основных кинематических характеристик движения. Для решения же конкретных задач обычно переходят от векторного способа к координатному и естественному способам задания движения.

3.1.2. Координатный способ задания движения заключается в представлении координат точки в виде известных, непрерывных, дважды дифференцируемых функций времени. Выбор конкретной системы координат определяется содержанием решаемой задачи. Предпочтительнее та система координат, использование которой наиболее целесообразно для данной задачи.

В прямоугольной декартовой системе координаты точки М (рис. 3.1) задаются как известные функции времени, т.е.

, , . (3.2)

Уравнения (3.2) движения точки представляют одновременно и уравнения траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время . Если требуется определить уравнение траектории в координатной форме, то нужно исключить каким-либо образом из этих уравнений время .

Во многих случаях бывает предпочтительнее использовать цилиндрические или сферические координаты.

В цилиндрических координатах (рис. 3.2 а) положение точки определяется радиусом , углом (азимут) и аппликатой . Следовательно, движение будет задано, если , , и z будут известными функциями времени

, , . (3.3)

Рис. 3.2.

В сферических координатах (рис. 3.2 б) положение точки определяется полярным радиусом , углом и углом (полюсный угол). Движение будет задано, если

, , (3.4)

– известные функции времени.

Формулы, связывающие цилиндрические и сферические координаты с декартовыми, соответственно будут

, , ;

, , .

При движении точки в плоскости иногда целесообразно использовать полярные координаты. В этом случае нужно задать в виде функций времени координаты и (рис. 3.3): , . Рис. 3.3.

Связь этих координат с декартовыми дается формулами

, .

3.1.3. Естественный способ. При естественном способе задания движения указываются (рис. 3.4):

· траектория точки;

· закон движения точки по траектории

; (3.5)

· начало отсчета (точка М0 на рис. 3.4);

· направление положительного отсчета дуги по траектории.

Рис. 3.4. Если движение происходит в сторону возрастания дуги , то дифференциал дуги , если же движение происходит в сторону убывания дуги, то дифференциал дуги будет .

Путь s, проходимый точкой, всегда будет возрастать и, следовательно, положителен, т. е.

.

Естественным способом задания движения удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна.

Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны.

Рис. 3.5. Пусть, например, движение задано координатным способом в виде (3.2). Очевидно, что при этом проекции радиуса-вектора (рис. 3.5) на оси координат равны координатам точки М и, следовательно, можно записать . (3.6) Модуль найдется по формуле

, (3.7)

а направление определится направляющими косинусами

, , . (3.8)

Рис. 3.6. От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме выражается через декартовы координаты в виде (рис. 3.6)

Интегрируя это выражение в промежутке от (начало движения) до какого-либо момента времени , получим закон движения

.

Знак «плюс» или «минус» перед интегралом ставится в зависимости от выбора направления положительного отсчета дуги; если движение точки начинается в сторону выбранного положительного отсчета дуги, то следует брать знак «плюс», в противном случае – знак «минус».

 

 

Пусть в момент времени положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент радиусом-вектором . Вектор

будем называть вектором перемещения точки за время (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Отношение вектора к промежутку времени М называется средней скоростью точки за промежуток времени . Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора

перемещения точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение, когда этот промежуток времени стремится к нулю, т.е.

. (3.9)

Из этого определения видно, что скорость точки равна производной радиуса-вектора точки по времени. На рис. 3.7 показаны средняя скорость и скорость точки М. Как следует из общей теории, скорость точки – этор вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки.


3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения