Электрический расчет сети методом узловых напряжений

Решение задачи по определению потокораспределения от приближенного к более точному по найденным напряжениям узлов, которое использовалось в п.5.2-5.4, довольно трудоемкий процесс. Метод узловых напряжений позволяет быстрее найти напряжения в узлах U_n, а по ним определить мощность в начале и конце каждого участка сети. Этот метод заложен в основу многих программ расчета установившихся режимов замкнутых электрических сетей на ЭВМ: RASTR, MUSTANG и др.

Для схемы, содержащей n узлов, рис.5.5, составляется система из (n-1) уравнений. Напряжение узла 1, базисного по напряжению (опорного узла), U₁ задано.



	Схема сети

Сопротивления Z_ij (проводимости Y_ij ) всех линий известны, нагрузки в узлах могут быть заданы в виде токов I_n или мощностей S_n:

Запишем взаимные проводимости узлов:

Найдем собственные проводимости узлов 2, 3, 4:

На основании 1-го закона Кирхгофа запишем векторные суммы токов в ветвях, подходящих к узлам 2, 3, 4:

Выразим токи в ветвях через узловые напряжения и проводимости ветвей:

Подставив (5.24) в (5.23), получим:

Перемножив, сгруппируем взаимные проводимости узлов 2, 3, 4:

Y₁₂U₁- (Y₁₂+Y₂₃+Y₂₄)U₂+ Y₂₃U₃+ Y₂₄U₄= I₂ Y₁₃U₁ + Y₂₃U₂ – (Y₁₃+Y₂₃+Y₃₄)U₃ + Y₃₄U₄= I₃ Y₂₄U₂ + Y₃₄U₃ – (Y₂₄+Y₃₄)U₄ = I₄

В скобках системы уравнений (5.26) содержатся собственные проводимости узлов:

Y₁₂U₁– Y₂₂U₂+ Y₂₃U₃+ Y₂₄U₄= I₂ Y₁₃U₁ + Y₂₃U₂ – Y₃₃U₃ + Y₃₄U₄= I₃ Y₂₄U₂ + Y₃₄U₃ – Y₄₄U₄ = I₄

В системе уравнений (5.27) можно заметить, что члены уравнений, содержащие собственные проводимости узлов, расположены по диагонали и имеют знак (-).

Нагрузки в узлах электрической сети чаще задаются не токами, а мощностями (5.20), поэтому выразим правую часть (5.27) через мощности:

Решая систему уравнений (5.27 или 5.28), находят напряжения в узлах U₂, U₃, U₄. Затем по выражению (5.23) определяют токи в ветвях, после чего по (5.20) находят мощности в начале и конце каждого участка, например,

мощность в начале участка 2-3:
мощность в конце участка 2-3:

Решение системы уравнений (5.28) представляет значительную трудность, т.к. во-первых, эта система является нелинейной, во-вторых, она содержит большое число комплексных и сопряженных величин, поэтому точные методы решения такой системы уравнений не используются, и решение производят итерационными методами.