Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение
Затухающие колебания
В реальных системах всегда существуют некоторые силы сопротивления, препятствующие развитию колебательных процессов. Для установления характера колебательного движения в этом случае будем считать, что наряду с упругой или квазиупругой силой Fy в системе действует сила трения, пропорциональная скорости и направленная противоположно ей: Fтр = 
. Тогда учет влияния этих двух сил на характер движения приводит к следующему дифференциальному уравнению:
8)
Разделив левую и правую части уравнения (8) на m , обозначив r/m = 2b и сохранив обозначение к/m = w02 , приведем это уравнение к виду:
(9)
Решение этого уравнения имеет вид:
(10)
Формула (10) представляет собой смещение при затухающем колебании как функцию времени и параметров системы b и w. Коэффициент b = r/2m имеет смысл коэффициента затухания. Из формулы (10) видно, что в затухающих колебаниях амплитуда уменьшается со временем. Причем, колебания затухают тем быстрее, чем больше коэффициент затухания b. По сравнению с гармоническими колебаниями уменьшается также и циклическая частота колебаний w. Это уменьшение зависит от коэффициента затухания. Оказывается, что
(11)
Колебательный процесс может происходить лишь при условии: (w02 - b 2)>0, когда частота w в формуле (11) является действительной величиной . Если же затухание в системе слишком велико (w0 < b ) , то под корнем в формуле (11) оказывается отрицательная величина, - в этом случае движение не имеет периодического характера.
Графически затухающее колебания представлено на рис.2, где сплошной линией показана зависимость смещения от времени, а пунктирной - экспоненциальный закон убывания амплитуды.
2.2. Декремент затухания и логарифмический декремент затухания.
Уже указывалось, что быстрота убывания амплитуды затухающих колебаний характеризуется коэффициентом затухания b , который зависит от параметров системы. На практике затухание колебаний удобнее характеризовать декрементом затухания d , представляющим собой отношение двух последовательных амплитуд, разделенных периодом колебаний Т (см. рис.2) :
Натуральный логарифм этого отношения, называемыйлогарифмическим декрементом затуханияl, весьма просто связан с коэффициентом затухания и периодом:
или l = bT . (12)
Удобство использования логарифмического декремента затухания l для характеристики затухающих колебаний заключается в простоте его экспериментального определения. Если затухающие колебания зарегистрированы в виде соответствующего графика (см.рис.2), то необходимо в любых единицах измерить две амплитуды колебаний, разделенные интервалом времени, равным периоду, и найти натуральный логарифм их отношения. Определив таким образом величину l и зная период Т , легко найти и коэффициент затухания b .