Исходные данные
| № п/п | Административные области России | Естественный прирост населения, чел. | Численность безработных | Занято в условиях, не отвечающих санитарным нормам, % |
| Архангельская | - 6.4 | 6.3 | 36,1 | |
| Вологодская | - 8.4 | 4.0 | 32.1 | |
| Мурманская | - 2.9 | 7.7 | 42.4 | |
| Ленинградская | - 10.8 | 7.2 | 19.9 | |
| Новгородская | - 10.9 | 5,8 | 11.7 | |
| Псковская | - 12.6 | 7.6 | 16.5 | |
| Брянская | - 6.7 | 4.3 | 23.8 | |
| Владимирская | - 7.8 | 5.8 | 19,1 | |
| Ивановская | - 8.9 | 8,5 | 29.4 | |
| Калужская | - 7.8 | 4.6 | 18.6 | |
| Костромская | - 7.8 | 7,3 | 20.2 | |
| Московская | - 8.1 | 6.1 | 16.7 | |
| Орловская | - 6.8 | 4.0 | 16.1 | |
| Рязанская | - 9.0 | 4.9 | 16.3 | |
| Смоленская | - 8.3 | 5.7 | 21.1 | |
| Тверская | - 11,7 | 4.0 | 18.5 | |
| Тульская | - 10,7 | 4.0 | 20.1 | |
| Ярослaвская | 9,8 | 5,2 | 26,0 | |
| Кировская | - 6.1 | 6.2 | 16.5 | |
| Нижегородская | - 8.1 | 4.9 | 20.2 | |
| Белгородская | - 5.8 | 3.6 | 17.0 | |
| Воронежская | - 8.1 | 4.2 | 16.5 | |
| Курская | - 7,6 | 3,4 | 25,7 | |
| Липецкая | - 6.8 | 4.8 | 29.0 | |
| Тамбовская | - 8.6 | 5.4 | 15.3 | |
| Астраханская | - 2.8 | 6.7 | 15.1 | |
| Волгоградская | - 4.2 | 5.3 | 18.9 | |
| Пензенская | - 6.1 | 5.6 | 15.5 | |
| Самарская | - 4.8 | 4.2 | 23.0 | |
| Саратовская | - 5.5 | 5.0 | 16.8 | |
| Ульяновская | - 3.3 | 4.3 | 21.3 | |
| Ростовская | - 5.5 | 5.0 | 24.6 |
Решение:
а) Для выявления зависимости между численностью безработных (х1), численностью занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам (х2) и естественным приростом (убылью) населения (У) в анализируемых областях построим уравнение зависимости Ух1х2 = а0 + а1х1 + а2х2, .
Вначале определим параметры уравнения а0 , а1, а2 , использовав метод наименьших квадратов.
Система нормальных уравнений для вычисления параметров уравнения а0 , а1, а2 выглядит следующим образом:
;
;
.
По данным табл. 7 рассчитаем необходимые для составления указанной системы суммы и подставим полученные расчёты в данную систему. Получим систему нормальных уравнений в виде:
;
;
.
Для нахождения параметров уравнения а0 , а1, а2 разделим первое уравнение на 32, второе – на 171,6, третье – на 680. Получим:
;
;
.
Из второго уравнения вычтем первое, а из третьего – второе, получим:
Разделим первое уравнение на 0,2496, второе – на (-0,178), получим:
Таблица 7
Расчётная таблица
| № п/п | У | Х1 | Х2 | У2 | Х12 | Х22 | Х1Х2 | Х1У | Х2У |
| - 6,4 | 6,3 | 36,1 | 40,96 | 39,69 | 1303,21 | 227,43 | -40,32 | -231,04 | |
| - 8,4 | 4,0 | 32,1 | 70,56 | 16,00 | 1030,41 | 128,40 | -33,60 | -269,64 | |
| - 2,9 | 7,7 | 42,4 | 8,41 | 59,29 | 1797,76 | 326,48 | -22,33 | -122,96 | |
| - 10,8 | 7,2 | 19,9 | 116,64 | 51,82 | 396,01 | 143,28 | -77,76 | -214,92 | |
| - 10,9 | 5,8 | 11,7 | 118,81 | 33,64 | 136,89 | 67,86 | -63,22 | -127,53 | |
| - 12,6 | 7,6 | 16,5 | 158,76 | 57,76 | 272,25 | 125,40 | -95,76 | -207,90 | |
| - 6,7 | 4,3 | 23,8 | 44,89 | 18,49 | 566,44 | 102,34 | -28,81 | -159,46 | |
| - 7,8 | 5,8 | 19,1 | 60,84 | 33,64 | 364,81 | 110,78 | -45,24 | -148,98 | |
| - 8,9 | 8,5 | 29,4 | 79,21 | 72,25 | 864,36 | 249,90 | -75,65 | -261,66 | |
| - 7,8 | 4,6 | 18,6 | 60,84 | 21,16 | 345,96 | 85,56 | -35,88 | -145,08 | |
| - 7,8 | 7,3 | 20,2 | 60,84 | 53,26 | 408,04 | 147,46 | -56,94 | -157,56 | |
| - 8,1 | 6,1 | 16,7 | 65,61 | 37,21 | 278,89 | 101,87 | -49,41 | -135,27 | |
| - 6,8 | 4,0 | 16,1 | 46,24 | 16,00 | 259,21 | 64,40 | -27,20 | -109,48 | |
| - 9,0 | 4,9 | 16,3 | 81,0 | 24,01 | 265,59 | 79,87 | -44,10 | -146,70 | |
| - 8,3 | 5,7 | 21,1 | 68,89 | 32,49 | 445,21 | 120,27 | -47,31 | -175,13 | |
| - 11,7 | 4,0 | 18,5 | 136,89 | 16,00 | 342,25 | 74,00 | -46,80 | -216,45 | |
| - 10,7 | 4,0 | 20,1 | 114,49 | 16,00 | 401,01 | 80,40 | -42,80 | -215,07 | |
| 9,8 | 5,2 | 26,0 | 96,04 | 27,04 | 676,00 | 135,20 | 50,96 | 254,80 | |
| - 6,.1 | 6,2 | 16,5 | 37,21 | 38,44 | 272,25 | 102,30 | -37,82 | -100,65 | |
| - 8,1 | 4,9 | 20,2 | 65,61 | 24,01 | 408,04 | 98,98 | -39,69 | -163,62 | |
| - 5,8 | 3,6 | 17,0 | 33,64 | 12,96 | 289,00 | 61,20 | -20,88 | -98,60 | |
| - 8,1 | 4,2 | 16,5 | 65,61 | 17,64 | 272,25 | 69,30 | -34,02 | -133,65 | |
| - 7,6 | 3,4 | 25,7 | 57,76 | 11,56 | 660,49 | 87,38 | -25,84 | -195,32 | |
| - 6,8 | 4,8 | 29,0 | 46,24 | 23,04 | 841,00 | 139,20 | -32,64 | -197,20 | |
| - 8,6 | 5,4 | 15,3 | 73,96 | 29,16 | 234,09 | 82,62 | -46,44 | -131,58 | |
| - 2,8 | 6,7 | 15,1 | 7,84 | 44,89 | 228,01 | 101,17 | -18,76 | -42,28 | |
| - 4,2 | 5,3 | 18,9 | 17,64 | 28,09 | 357,21 | 100,17 | -22,26 | -79,38 | |
| - 6,1 | 5,6 | 15,5 | 37,21 | 31,36 | 240,25 | 86,80 | -34,16 | -94,55 | |
| - 4,8 | 4,2 | 23,0 | 23,04 | 17,64 | 529,00 | 96,60 | -20,16 | -110,40 | |
| - 5,5 | 5,0 | 16,8 | 30,25 | 25,00 | 282,24 | 84,00 | -27,50 | -92,40 | |
| - 3,3 | 4,3 | 21,3 | 10,89 | 18,49 | 453,69 | 91,59 | -14,19 | -70,29 | |
| - 5,5 | 5,0 | 24,6 | 30,25 | 25,00 | 605,16 | 123,00 | -27,50 | -135,30 | |
| Итого | -188,3 | 171,6 | 680,0 | 1967,07 | 973,03 | 15826,98 | 3695,21 | -1184,03 | -4435,25 |
| Сред-няя | - 5,9 | 5,4 | 21,2 | 64,5 | 30,4 | 494,593 | 115,475 | -37,001 | -138,601 |
Из второго уравнения вычтем первое, а из третьего – второе, получим:
-8,6441а2=1,9477
а2 = - 0,2253
Величину параметра а1 определим из следующего уравнения:
0,2496а1 + 0,2839 ·(- 0,2253) = - 1,0155
0,2496а1 - 0,0640 = - 1,0155
0,2496а1 = -1,0155 + 0,0640
а1 = - 0,9515: 0,2496
а1 = - 3,8121
Величину параметра а0 определим из следующего уравнения:
а0 + 5,4341 · (- 3,8121) + 23,275 · (- 0,2253) = - 6,5224
а0 - 20,7153 – 5,2439 = - 6,5224
а0 = - 6,5224 + 20,7153 + 5,2439
а0 = 19,4368
Таким образом, получаем уравнение, выражающее корреляционную зависимость между численностью безработных, численностью занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам, и естественным приростом (убылью) населения в расчёте на 1000 жителей в анализируемых областях:
Ух1х2 = 19,4368 - 3,8121х1 – 0,2253х2
В данном уравнении регрессии параметр а0 = 19,4368 показывает усреднённое влияние на результативный признак неучтённых (невыделенных для исследования) факторов; параметр а1 = - 3,8121 – коэффициент регрессии, который показывает, что с увеличением численности безработных на 1% - естественный прирост (убыль) населения в расчёте на 1000 жителей уменьшается на 3,8 человека; параметр а2 = - 0,2253 – коэффициент регрессии, который показывает, что с увеличением численности занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам, на 1% - естественный прирост (убыль) населения в расчёте на 1000 жителей уменьшается на 0,2 человека.
г) Вычислим коэффициенты парной корреляции 
, 
, 
найдём по формуле:
, где 
найдём по формуле:
, где 
найдём по формуле:
Вычисленные коэффициенты парной корреляции показывают тесноту связи между численностью безработных, численностью занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам, и естественным приростом (убылью) населения в расчёте на 1000 жителей в анализируемых областях. Так,
= - 0,884 показывает, что между численностью безработных (Х1) и естественным приростом (убылью) населения в расчёте на 1000 жителей в нашей задаче наблюдается высокая (по шкале Чеддока), обратная (т. к. знак «-») зависимость, т. е. с ростом численности безработных естественный прирост уменьшается.
= - 0,387 показывает, что между численностью занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам (Х2) и естественным приростом (убылью) населения в расчёте на 1000 жителей наблюдается умеренная (по шкале Чеддока), обратная (т. к. знак «-») зависимость, т. е. с ростом численности занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам, естественный прирост в анализируемых областях уменьшается.
= 0,132 показывает, что между численностью безработных (Х1) и численностью занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам (Х2), наблюдается слабая (по шкале Чеддока), прямая (т. к. знак «+») зависимость, т. е. с ростом численности занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам, численность безработных увеличивается, и, наоборот.
д) Множественный коэффициент корреляции для двух факторных (Х1 и Х2) признаков вычисляется по формуле:
, где
rух - парные коэффициенты корреляции между признаками.
Следовательно, в нашей задаче, множественный коэффициент корреляции равен:
Коэффициент множественной корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 ≤ R ≤ 1.
Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.
Следовательно, вычисленный коэффициент множественной корреляции 
характеризует, о том, что между численностью безработных, численностью занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам, и естественным приростом (убылью) населения в расчёте на 1000 жителей в анализируемых областях существует сильная взаимосвязь.
е) Вычислим частные коэффициенты корреляции, которые характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками х1 и х2 при фиксированном значении других (k - 2) факторных признаков, то есть когда влияние х1 исключается, то есть оценивается связь между х1 и х2 в "чистом виде".
В случае зависимости у от двух факторных признаков х1 и х2 коэффициенты частной корреляции имеют вид:
,
где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.
В первом случае исключено влияние факторного признака х2, во втором – х1.
В нашей задаче:
Значит, между численностью безработных (Х1) и естественным приростом (убылью) населения в расчёте на 1000 жителей (У) при фиксированном значении показателя Х2 наблюдается высокая (по шкале Чеддока), обратная (т. к. знак «-») зависимость.
Следовательно, между численностью занятых в условиях, не отвечающих санитарным нормам (Х2), и естественным приростом (убылью) населения в расчёте на 1000 жителей (У) при фиксированном значении показателя Х1 наблюдается заметная (по шкале Чеддока), обратная (т. к. знак «-») зависимость.