Основные теоремы дифференциального исчисления

Пример 5

Пример 4

Найти предел .

Решение.

Используя правило Лопиталя, можно записать

Найти предел .

Решение.

Предел имеет неопределенность типа . Применяем правило Лопиталя n раз.

 

Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции.

Определение. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции в ней – локальным максимумом (минимумом) функции , если существует окрестность такая, что для любой точки будет справедливо неравенство .

Определение. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значение функции в них – локальными экстремумами функции.

Пример. Точка является точкой локального максимума, а точка точкой локального минимума для функции .

Определение. Точка называется внутренней точкой промежутка , если она принадлежит ему вместе со своей окрестностью.

Теорема (Ферма). Если функция определенная на промежутке , дифференцируема в точке внутреннего экстремума , то ее производнаяв этой точкеравна нулю:.

Замечание. Теорема Ферма дает необходимое условие внутреннего экстремума дифференцируемой функции, это условие не является достаточным.

Пример. У функции в нуле производная обращается в нуль, но не является точкой локального экстремума этой функции.

 

Теорема (Ролля). Если функция определена и непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то найдется точка , в которой .

Теорема (Лагранжа о конечном приращении). Если функция определена и непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то найдется точка такая, что

.

Теорема (Коши о конечных приращениях). Пусть функции непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем .

Тогда найдется точка такая, что

.

Теорема (о монотонности функции). Пусть функция определена и дифференцируема на некотором интервале , и пусть производная на . Тогда функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Теорема (о постоянной функции). Непрерывная на интервале функция постоянна на нем тогда и только тогда, когда ее производная равна нулю на этом интервале.