Метод скользящего среднего.

Сглаживание временного ряда.

Идея данного метода заключается в замене элемента ряда на некоторое среднее значение:

(16)

где - некоторые весовые коэффициенты, такие что ,

величина - окно сглаживания.

Следующий график демонстрирует 7 значений временного ряда (стоимость 1 евро) и рассчитанное относительно 4го значения «скользящее среднее» с окном =7.

Поскольку, изменяя t от до , при переходе от элемента ряда к в правой части формулы (16) происходит замена лишь одного слагаемогона , то происходит «скольжение» по оси времени. Методы, основанные на формуле (16), называются методами скользящего среднего.

Определение коэффициентов основано на следующей процедуре. В соответствии с теоремой Вейерштрасса любая гладкая функция при самых общих допущениях (в ограниченном интервале изменения параметра ) может быть представлена алгебраическим полиномом степени :

(17)

Поэтому для определения параметров необходимо перебрать все окна сглаживания для

и при помощи метода наименьших квадратов подобрать параметры для полинома (17).

Однако, при проведении этой процедуры выясняется, что при решении задачи минимизации квадрата отклонения значения полинома от значения ряда , на значения влияют лишь значения коэффициента , независимо от порядка полинома.

При использовании линейной функции формула (16) примет следующий вид:

(18)

При использовании квадратичной функции формула (16) примет следующий вид:

(19)

Следующий график отображает исходный временной ряд и скользящие средние с =7 и =17, параметр = 1 (линейная функция).

Для метода скользящих средних имеются таблицы со стандартными коэффициентами для разных значений и .

Экспоненциальное сглаживание (метод Брауна).

Идея метода заключается в том, чтобы при экстраполяции в будущее (прогноза) «недавним» значениям ряда придавать больший вес, чем более ранним значениям. Эту идею демонстрирует следующая формула:

(20)

где - сглаженный тренд в точке , - значение временного ряда, - сглаженное значение в точке , - коэффициент сглаживания.

Покажем, что значение рекурсивно зависит от всех членов временного ряда:

При выполняется следующее: , поэтому последним слагаемым можно пренебречь. Таким образом, величина оказывается взвешенной суммой всех уровней ряда, причем веса уменьшаются экспоненциально, по мере углубления в историю процесса, отсюда название — экспоненциальная средняя.

Экспоненциальное среднее имеет среднее значение, равное среднему исходного ряда, но

меньшую дисперсию.

Если , то расхождение между сглаженным рядом и исходным рядом мало.

Если , то в большей степени подавляются колебания ряда и отчетливо вырисовывается тенденция.

Сглаживание по формуле (20) подходит для сглаживания временных рядов с незначительным сезонным эффектом.

Для того, чтобы учесть наличие тренда и сезонности в исходном временном ряду применяются модели экспоненциального сглаживания следующего вида:

(21)

где - величина, описывающая сезонность, - величина, описывающая тренд.

Величина, описывающая сезонность определяется следующим образом:

если сезонности нет, то ,
при наличии аддитивной сезонности ,
при наличии мультипликативной сезонности .

Таким образом, представляет собой текущую оценку процесса , очищенную от сезонных колебаний с помощью коэффициентов сезонности рассчитанных для предшествующего цикла.

Величина, описывающая тренд определяется следующим образом:

при отсутствии тренда ,
при аддитивном росте значений ряда ,
мультипликативном росте ,

Здесь - абсолютный прирост, характеризующий изменение среднего уровня процесса, или аддитивный коэффициент роста, - коэффициент экспоненциального роста.

Адаптация всех перечисленных параметров осуществляется с помощью экспоненциального сглаживания:

где

Задача оптимизации модели сводится к поиску наилучших значений параметров , выбор которых определяется целями исследования и характером моделируемого процесса.

На следующем графике представлен исходный временной ряд и сглаживающая кривая, построенная с учетом аддитивной сезонности:

Для первого примера (перевозки пассажиров) сглаживание ряда и прогноз представлены на следующей диаграмме: