Пример моделирования временного ряда.

Моделирование сезонности.

 

Аддитивную сезонность можно моделировать при помощи линейной функции следующего вида:

(11)

где - число сезонов (тактов) в единицу цикла,

- коэффициенты сезонности, , такие что ,

- значение -го сезона в момент времени :

(12)

 

Рассмотрим временной ряд следующего вида:

 

По графику можно предположить, что факторами, влияющими на формирование временного ряда, являются полиномиальный тренд и аддитивная сезонность. Для моделирования ряда будем использовать следующую модель:

(13)

Данная модель является основой для регрессионного анализа.

Автокорреляционная функция для данного ряда имеет следующий вид:

Автокорреляция убывает медленно, что говорит о наличии тесной взаимосвязи между соседними элементами ременного ряда. Такая взаимосвязь, как правило, обусловлена присутствием тренда.

При построении модели последовательно выделяются детерминированные составляющие, образующие ряд. Сначала строим модель, описывающую трендовую составляющую ряда:

. (14)

Для этого используем алгоритм построения линейной регрессии с оценкой параметров по методу наименьших квадратов. Для построения регрессии для тренда следует использовать таблицу с исходными данными следующего вида:

	t
…	…	…

 

Результат построения модели представлен в следующей таблице:

	Коэффициент	p-уровень
	11,38309	0,000039
	-0,64326	0,008844
	0,03871	0,000000

 

После исключения трендовой составляющей из исходного ряда: , необходимо подобрать модель для остатка. Ряд имеет следующий вид:

Важным моментом при построении модели является определение порядка сезонности. Кроме визуальной оценки, на практике используется вычисление автокорреляционной функции временного ряда. Для исследуемого ряда график автокорреляции имеет следующий вид:

Поскольку автокорреляция имеет локальные максимумы на каждом 12м лаге, можно сделать вывод о том, что порядок сезонности =12.

Для моделирования ряда используем следующую модель:

(15)

При построении линейной регрессионной модели следует учитывать особенности переменных , которые, согласно (12) не являются линейно независимыми. Линейная независимость исходных признаков достигается исключением одной из переменных (именуется базовой). При таком подходе коэффициент регрессии для базовой переменной включен в свободный член . Для построения регрессии для сезонности следует использовать таблицу с исходными данными следующего вида:

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…
			…
			…
…	…	…	…	…

 

Коэффициенты, рассчитанные для обеих моделей можно подставить в формулу (13). Для каждого значения временного ряда можно получить модельное (прогнозируемое) значение. Качество построенной регрессионной модели временного с учетом тренда и сезонной компоненты отражает график, на котором присутствует исходный ряд и его модель:

Кроме того, для проверки качества модели следует рассматривать гистограмму остатков и автокорреляционную функцию остатков.

Поскольку модельные значения достаточно близки к наблюдаемым (то есть дисперсия ошибки мала) и ошибки прогноза отвечают требованиям, предъявляемым к остаткам регрессионных моделей, можно сделать вывод о высокой степени адекватности построенной модели исследуемой ситуации.