Характеристики временных рядов.

Основные задачи анализа временных рядов.

 

  1. По имеющейся траектории анализируемого временного ряда определить, какие из неслучайных функций присутствуют в разложении (1).
  2. Построить "хорошие" оценки тех исследуемых функций, которые участвуют в разложении (1).
  3. Подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков, и статистически оценить параметры этой модели.

 

Построение модели является основной для решения задач краткосрочного и долговременного прогнозирования. Для решения задачи 3, как правило, используются стационарные временные ряды.

 

 

Основные числовые характеристики временных рядов:

  • среднее значение
  • дисперсия ,
  • автокорреляция, частная автокорреляция.

 

Очевидно, что значение a определяет постоянный уровень, относительно которого флуктуирует анализируемый временной ряд x(t), а постоянная величина характеризует размах этой флуктуации.

Предположим, что закон распределения вероятностей (з.р.в.) случайной величины , одинаков при всех t. Тогда по наблюдениям можно оценить математическое ожидание и дисперсию временного ряда:

(2)

Автоковариационная функция временного ряда.

Определение 2. Ковариация между значениями и , зависящая только от величины "сдвига по времени" , называется автоковариацией функцией и определяется соотношением: .

При анализе изменения величины в зависимости от значения принято говорить об автоковариационной функции .

Значения автоковариационной функции могут быть статистически оценены по имеющимся наблюдениям временного ряда по формуле:

(3)

 

Очевидно, значение автоковариационной функции приесть не что иное, как дисперсия временного ряда, т.е.

(4)

 

Автокорреляционная функция временного ряда.

Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, взаимосвязанными. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена коэффициентом парной корреляции. Поэтому степень тесноты статистической связи между наблюдениями временного ряда, "разнесенными" (по времени) на единиц, определится величиной коэффициента корреляции следующего вида:

(5)

 

Определение 3. Коэффициент называется коэффициентом автокорреляции временного ряда и измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда.

 

При анализе изменения величины в зависимости от значения принято говорить об автокорреляционной функции .

График автокорреляционной функции называется коррелограммой.

 

График 2. График автокорреляционной функции.

Заметим, что автокорреляционная функция (в отличие от автоковариационной) безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения, по определению, могут колебаться от -1 до +1.