Решение.
Ранг матрицы системы r = 2 , следовательно, два из уравнений системы, например, второе и третье, можно отбросить.
Общее число групп базисных переменных не более чем 
, поэтому возможны следующие группы базисных переменных: х1, х2; х1, х3; х1, х4; х2, х3; х2, х4; х3, х4.
Выясним, могут ли переменные х1, х2 быть базисными. Так как определитель матрицы из коэффициентов при этих неизвестных в системе (**) 
= -3 ¹ 0, то х1 и х2 могут быть базисными переменными. Рассуждая аналогично, найдем, что все перечисленные группы переменных могут быть базисными.
Найдем первое базисное решение, взяв в качестве базисных переменных х1 , х2, а в качестве свободных - переменные х3 , х4. Приравняв свободные переменные нулю в системе (**), т.е. х3 = х4 = 0 , получим систему уравнений в виде:
откуда х1 = 
, х2 = -
, т.е. первое базисное решение (; -; 0; 0). Аналогично находятся и остальные базисные решения
(6; 0; -2; 0) , (; 0; 0; ) , (0; -
; 
; 0) , (0; 
, 0; 
) , (0; 0; 
;
) .4
3Пример 3.
Решить систему
(*)
и найти ее фундаментальную систему решений.
Решение.
Дана однородная система из 3-х уравнений с 5-ю неизвестными.
1) Однородная система (*) всегда совместна. Определим теперь RgA.
А=
~
~
=А'.
Þ RgA = 2 Þ Rg A < n (n=5) Þ система (*) имеет бесчисленное множество решений.
2) Найдем все решения системы (*). Перейдем к следующей эквивалентной системе уравнений.
(**),
где
х1, х2 - базисные неизвестные;
х3, х4, х5- свободные неизвестные.
От системы (**) переходим к следующей эквивалентной системе
(***)
Решая систему (***) относительно х1 и х2 найдем
х2=
х1 = -х3 + х4 - 3х5 + 2х2 = 
т.к. х3, х4, х5- свободные неизвестные, то можно считать х3 =a, х4 = b, x5 = c.
Тогда общее решение системы (***), а значит и (*) есть
х1 = 
x2= 
, х3 =a, x4 = b , x5 = c
или
Х =
Проверка общего решения(по исходной системе).
Þ общее решение найдено верно.
Перейдем теперь к поиску фундаментальной системы решений. Из уравнений (***) , придавая свободным неизвестным значения х3 = 1, х4 = 0, х5= 0, затем х3= 0, х4 = 1, х5 = 0, и затем х3 = 0, х4 = 0, х5 = 1, получаем фундаментальную систему решений
| х1 | х2 | х3 | х4 | х5 |
| ||||
| -
| |||
| -
| 
|
,,44546,83
(0; ; 1; 0; 0) , 
= (; - ; 0; 1; 0) , 
= (-; ; 0; 0; 1).
Тогда общее решение системы имеет вид
= с1 (0; ;1; 0; 0) + с2 (;- ; 0;1; 0) + с3 (-; ; 0; 0; 1)
или 
= (с2 - с3; c1 - c2+c3; c1; c2; c3) (сравните с предыдущим).
Ответ: х1 = x2=
, x3 =
, x4 = b , x5 = c
или
Х = (
, a, b, c)4