Случай 2.

Лекция. Однородные системы линейных уравнений

В матричной форме однородная линейная система уравнений имеет следующий вид

АХ = Ô.

Например,

Очевидно, что однородная система всегда совместна, т.к. RgA=Rg(A,Ô) или хотя бы потому, что она всегда имеет нулевое решение х₁=х₂=...=х_n=0, которое называется тривиальным. Поэтому метод Гауcса применим к однородным системам без каких-либо изменений. При этом возможны следующие случаи:

Случай 1.

Rg A = nи система имеет единственное тривиальное (нулевое) решение.

Rg A =r и r < nи система имеет бесчисленное множество решений, включая тривиальное.

В этом случае, если придать свободным неизвестным n -r наборов значений:

1) х_r+1= 1 , х_r+2= 0 ,... х_n-1= 0 , х_n= 0 ,

2) х_r+1= 0 , х_r+2= 1 ,... х_n-1= 0 , х_n= 0 ,

..............................................................

n-r) х_r+1= 0 , х_r+2= 0 ,... х_n-1= 0 , х_n= 1

и для каждого набора свободных неизвестных найти значения базисных неизвестных х₁, х₂ , ..., х_r, то можно выписать n - r частных решений системы

Полученная таким образом система (так называемых линейно независимых, их число равно n-r) решений называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений.

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Общее решениеоднородной системы имеет вид

где с₁ ,с₂ ,..., с_n-r - произвольные числа.

Теорема 2.

Общее решение неоднородной совместной системы линейных уравнений равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных уравнений и произвольного частного решения неоднородной системы.

Таким образом, с учетом рассмотренного выше, можно записать следующую общую схему решения систем линейных уравнений.

Общая схема решения систем линейных уравнений